Đề:  Cho hàm số:  $y = \frac{{{x^2} – 2mx + 3{m^2}}}{{x – 2m}}$                (1)1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với $m = -1$.2)    Xác định $m$ để hàm số (1) có hai khoảng đồng biến trong toàn miền xác định của nó.3)    Xác định $m$ để hàm số (1) đồng biến trong khoảng $1 < x

Đề bài:  Cho hàm số:  $y = \frac{{{x^2} – 2mx + 3{m^2}}}{{x – 2m}}$                (1)1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với $m = -1$.2)    Xác định $m$ để hàm số (1) có hai khoảng đồng biến trong toàn miền xác định của nó.3)    Xác định $m$ để hàm số (1) đồng biến trong khoảng $1 < x

Lời giải

 Viết lại hàm số dưới dạng:  $y = x + \frac{{3{m^2}}}{{x – 2m}}$        $(1)$

$1)$    Dành cho bạn đọc
$2)$    Ta có $y’ = 1 + \frac{{3{m^2}}}{{{{\left( {x – 2m} \right)}^2}}}$.
Hàm số $(1)$ có $2$ khoảng đồng biến trong toàn miền xác định của nó khi và chỉ khi $y’ \ge 0,\forall x \ne 2m$
$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 1 – \frac{{3{m^2}}}{{x – 2m}} \ge 0,\forall x \ne 2m\\
 \Leftrightarrow 1 \ge \frac{{3{m^2}}}{{x – 2m}},\forall x \ne 2m \Leftrightarrow m = 0
\end{array}$

3)    Hàm số $(1)$ đồng biến trong khoảng $1 1$
   $ \Leftrightarrow  1 – \frac{{3{m^2}}}{{x – 2m}} \ge 0,      \forall x > 1$
$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x – 2m} \right)^2} – 3{m^3},     \forall x > 1\\
2m \le 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ {x – \left( {2 + \sqrt 3 } \right)m} \right]\left[ {x – \left( {2 – \sqrt 3 } \right)m} \right],\forall x > 1\\
m \le 1/2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2 + \sqrt 3 } \right)m \le 1,\left( {2 – \sqrt 3 } \right)m \le 1,\forall x > 1\\
m \le 1/2
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}=2 – \sqrt 3
\end{array}$
(chứa cả trường hợp $m = 0$)