Đề bài: Cho hàm số: $y = \frac{{{x^2} – 2mx + 3{m^2}}}{{x – 2m}}$ (1)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với $m = -1$.2) Xác định $m$ để hàm số (1) có hai khoảng đồng biến trong toàn miền xác định của nó.3) Xác định $m$ để hàm số (1) đồng biến trong khoảng $1 < x
Lời giải
Viết lại hàm số dưới dạng: $y = x + \frac{{3{m^2}}}{{x – 2m}}$ $(1)$
$1)$ Dành cho bạn đọc
$2)$ Ta có $y’ = 1 + \frac{{3{m^2}}}{{{{\left( {x – 2m} \right)}^2}}}$.
Hàm số $(1)$ có $2$ khoảng đồng biến trong toàn miền xác định của nó khi và chỉ khi $y’ \ge 0,\forall x \ne 2m$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 – \frac{{3{m^2}}}{{x – 2m}} \ge 0,\forall x \ne 2m\\
\Leftrightarrow 1 \ge \frac{{3{m^2}}}{{x – 2m}},\forall x \ne 2m \Leftrightarrow m = 0
\end{array}$
3) Hàm số $(1)$ đồng biến trong khoảng $1 1$
$ \Leftrightarrow 1 – \frac{{3{m^2}}}{{x – 2m}} \ge 0, \forall x > 1$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x – 2m} \right)^2} – 3{m^3}, \forall x > 1\\
2m \le 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ {x – \left( {2 + \sqrt 3 } \right)m} \right]\left[ {x – \left( {2 – \sqrt 3 } \right)m} \right],\forall x > 1\\
m \le 1/2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2 + \sqrt 3 } \right)m \le 1,\left( {2 – \sqrt 3 } \right)m \le 1,\forall x > 1\\
m \le 1/2
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}=2 – \sqrt 3
\end{array}$
(chứa cả trường hợp $m = 0$)
Trả lời