Đề bài: Cho hàm số: $y = 4x^3 + mx$a) Tùy theo các giá trị của $a$, hãy xét sự biến thiên của hàm sốb) Xác định $m$ để $\left| y \right| \le 1$ khi $\left| x \right| \le 1$
Lời giải
a) Hàm số được xác định với mọi $x$, có đạo hàm $y’ = 12{x^2} + m$
• Với $m > 0$ ta có $y’ \ge 0$ với mọi $x$, suy ra $y$ luôn đồng biến với mọi $x$.
• Với $m Ta có bảng biến thiên:
Trong đó: $y_{CĐ} = y( – \sqrt { – m/12} ) = – \frac{{2m}}{3}\sqrt { – m/12} $
$y_{CT} = y(\sqrt { – m/12} ) = \frac{{2m}}{3}\sqrt { – m/12} $
b) $y$ là hàm lẻ nên chỉ cần xét $y$ trên đoạn $0 \le x \le 1$. Ta có
$\begin{array}{l}
\left| {y(1)} \right| \le 1{\rm{ }} \Rightarrow – 1 \le 4 + m \le 1{\rm{ }} \Rightarrow – 5 \le m \le – 3;\\
\left| {y(0)} \right| = 0 \le 1,{\rm{ }}\forall {\rm{m}} \in [ – 5{\rm{ ; }} – 3].
\end{array}$
$y’ = 12{x^2} + m = 0$ khi $x = \sqrt { – m/12} $ ${\rm{m}} \in [ – 5{\rm{ ; }} – 3].$
Để $\left| {y(x)} \right| \le 1$ khi $\left| x \right| \le 1$ chỉ cần có: $\left| {y\left( {\sqrt { – m/12} } \right)} \right| \le 1{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{m}} = – 3$.
Với $m = – 3$: $y = 4{x^3} – 3x$.
Đặt $x = c{\rm{os}}\alpha $ ta có: $y = 4{\cos ^4}\alpha – 3\cos \alpha = c{\rm{os3}}\alpha {\rm{ }} \Rightarrow \left| y \right| \le 1$ với $\forall \alpha $
Trả lời