Đề bài: Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} – 3x + m}}{{x – 1}}\)$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m=2$$2$. Biện luận theo tham số $a$ về số nghiệm của phương trình \(\frac{{2{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}} + {\log _{\frac{1}{2}}}a = 0\)$3$. Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải
$2$. \(\frac{{2{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}} + {\log _{\frac{1}{2}}}a = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}} = {\log _2}a\)
Số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị đã vẽ ở phần 1) với \(y = {\log _2}a\)
Từ đó ta có:
– Phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow 1 – 2\sqrt 2 – Phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow {\log _2}a = 1 \pm 2\sqrt 2 \Leftrightarrow a = {2^{1 \pm 2\sqrt 2 }}\)
– Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}
{\log _2}a {\log _2}a > 1 + 2\sqrt 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 a > {2^{1 + 2\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\)
$3$. Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng
\(\left( {3; + \infty } \right) \Leftrightarrow y’ = \frac{{2{x^2} – 4x + 3 – m}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} \ge 0\forall x > 3 \Leftrightarrow 2{x^2} – 4x + 3 – m \ge 0\forall x > 3\)
\( \Leftrightarrow m \le \varphi \left( x \right) = 2{x^2} – 4x + 3\forall x > 3\) Ta có \(\varphi ‘\left( x \right) = 4x – 4\)
Ta lập bảng biến thiên như hình vẽ
Nên \(m \le \varphi \left( x \right)\forall x > 3 \Leftrightarrow m \le 9\).
Trả lời