Đề: Chứng minh rằng: với $x > 0$ , ta luôn có: $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$

Đề bài: Chứng minh rằng: với $x > 0$ , ta luôn có: $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$

Lời giải

Ta có: $f(x) = {e^x} – 1 – x – \frac{{{x^2}}}{2} \Rightarrow f'(x) = {e^x} – 1 – x \Rightarrow f”(x) = {e^x} – 1 > 0\forall x > 0$
$ \Rightarrow f'(x)$đồng biến với $x > 0 \Rightarrow f'(x) > f'(0) = 0\forall x > 0$
$ \Rightarrow f(x)$đồng biến với $x > 0 \Rightarrow f(x) > f(0)\forall x > 0 \Rightarrow {e^x} – 1 – x – \frac{{{x^2}}}{2}>0\forall x > 0$