Đề: Cho hàm số \(y = \frac{{5mx}}{{{x^2} + 1}}\) (m là tham số, \(m \ne 0\)). Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) trên đoạn \(\left[ { – 2;2} \right].\)

Ta có: \(y’ = {\left( {\frac{{5mx}}{{{x^2} + 1}}} \right)’} = \frac{{5m\left( {1 – {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{5m\left( {1 – {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{1 – {x^2} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 0}\\{x =  \pm 1}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y\left( { – 2} \right) =  – 2m}\\{y\left( { – 1} \right) =  – \frac{5}{2}m}\\{y\left( 1 \right) = \frac{5}{2}m}\\{y\left( 2 \right) = 2m}\end{array}} \right.\) .

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) trên đoạn \(\left[ { – 2;2} \right]\) khi và chỉ khi \(m > 0.\)