Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x + 1}}{{\sqrt {2 + \sin 2x} }}\) với \(x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(M + \sqrt 3 m\) bằng

Câu hỏi:

Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x + 1}}{{\sqrt {2 + \sin 2x} }}\) với \(x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(M + \sqrt 3 m\) bằng

A. \(1 + 2\sqrt 2 \).

B. \( – 1\).

C. \(1\).

D. \(2\).

Lời giải

Chọn C

Đặt \(t = \sin x + \cos x\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} – \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 \\{t^2} = 1 + \sin 2x\end{array} \right.\).

Khi đó: \(f\left( t \right) = \frac{{t + 1}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\); \(f’\left( t \right) = \frac{{1 – t}}{{\left( {{t^2} + 1} \right)\sqrt {{t^2} + 1} }}\);\(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

Ta có: \(f\left( { – \sqrt 2 } \right) = \frac{{1 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\); \(f\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\); \(f\left( 1 \right) = \sqrt 2 \).

Suy ra \(M = f\left( 1 \right) = \sqrt 2 \); \(m = f\left( { – \sqrt 2 } \right) = \frac{{1 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).

Vậy \(M + \sqrt 3 m = 1\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số