Câu hỏi:
Tìm \(m\) để hệ sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + \sqrt {3x} \ge \sqrt {x + 1} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x\left( {x + 5} \right)\left( {2x – 1} \right) + {\left( {{x^3} – 2x + m} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
A. \(m = \frac{7}{2}\).
B. \(m = \frac{5}{2}\).
C. \(m = – 1\).
D. \(m = \frac{7}{8}\).
Lời giải
Chọn D
\(4{x^2} + \sqrt {3x} \ge \sqrt {x + 1} + 1\)(Điều kiện: \(x \ge 0\))
\( \Leftrightarrow 4{x^2} – 1 + \sqrt {3x} – \sqrt {x + 1} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right) + \frac{{2x – 1}}{{\sqrt {3x} + \sqrt {x + 1} }} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1 + \frac{1}{{\sqrt {3x} + \sqrt {x + 1} }}} \right) \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Do \(2x + 1 + \frac{1}{{\sqrt {3x} + \sqrt {x + 1} }} > 0\,\,\,\forall x \ge 0\)nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\).
Suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(x \ge \frac{1}{2}\).
TH1: Xét \(x = \frac{1}{2}\) suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\) trở thành \(0 + {\left( {\frac{1}{8} – 1 + m} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{7}{8}\).
TH2: Xét \(x > \frac{1}{2}\)
Xét \(f\left( x \right) = x\left( {x + 5} \right)\left( {2x – 1} \right)\) hay \(f\left( x \right) = 2{x^3} + 9{x^2} – 5x\) với \(x \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Có \(f’\left( x \right) = 6{x^2} + 18x + 5\left( {2x – 1} \right) > 0,\forall x \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Hàn số đồng biến
Vậy \(f\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x > \frac{1}{2}\) nên \(m = \frac{7}{8}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Để lại phản hồi