Cho các số thực \(0 < y < 1 \le x \le 3\) thỏa mãn \({x^2}{y^2} – {x^2} – {y^2} + 3xy – x + y = 0\). Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x + y\) là \(M,\,m\). Tính \(M + m\)?

Câu hỏi:

Cho các số thực \(0 < y < 1 \le x \le 3\) thỏa mãn \({x^2}{y^2} – {x^2} – {y^2} + 3xy – x + y = 0\). Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x + y\) là \(M,\,m\). Tính \(M + m\)?

A. \(12\)

B. \(\frac{5}{2}\)

C. \(\frac{{27}}{4}\)

D. \(\frac{{37}}{4}\)

Lời giải

Chọn D

Ta có: \({x^2}{y^2} – {x^2} – {y^2} + 3xy – x + y = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {xy} \right)^2} + xy = {\left( {x – y} \right)^2} + x – y\) (1)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {t^2} + t\) với \(t > 0\) có \(f’\left( t \right) = 2t + 1 > 0\,\forall t > 0\), vậy hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Từ giả thiết \(0 < y < 1 \le x \le 3\) ta có \(xy > 0;\,\,x – y > 0\).

Khi đó (1) trở thành \(f\left( {xy} \right) = f\left( {x – y} \right)\)\( \Leftrightarrow xy = x – y\)\( \Leftrightarrow y = \frac{x}{{x + 1}}\).

Từ đó \(P = 2x + \frac{x}{{x + 1}}\). Tìm GTLN, GTNN hàm số \(g\left( x \right) = 2x + \frac{x}{{x + 1}}\) trên \(\left[ {1;3} \right]\).

Ta có \(g’\left( x \right) = 2 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\) hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1;3} \right)\).

Vậy \(MaxP = g\left( 3 \right) = \frac{{27}}{4}\); \(\min P = g\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\). Vậy \(M + m = \frac{{37}}{4}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số