Câu hỏi:
Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện \(0 \le x \le 2\) và \({2^{x + y + 1}} = {4^x} + \frac{{x – y – 1}}{{{2^y}}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {\frac{{{x^2} – y + m\left( {2x – y} \right)}}{{x + 1}}} \right|\) khi \(m\) thay đổi?
A. \(2 – \sqrt 3 \).
B. \(\sqrt 3 – 1\).
C. \(\sqrt 2 – 1\).
D. \(1 + \sqrt 2 \).
Lời giải
Chọn A
Ta có: \({2^{x + y + 1}} = {4^x} + \frac{{x – y – 1}}{{{2^y}}} \Leftrightarrow {2^{x + 2y + 1}} + x + 2y + 1 = {2^{2x + y}} + 2x + y\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm \(g\left( t \right) = {2^t} + t\), ta có: \(g’\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0\,\,\forall \,t \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow \)\(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Khi đó phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow 2x + y = x + 2y + 1\)\( \Leftrightarrow y = x – 1\).
Thay vào ta được: \(P = \left| {\frac{{{x^2} – x + 1 + m\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}} \right| = \left| {\frac{{{x^2} – x + 1}}{{x + 1}} + m} \right|\). Giả sử \(\max P = M\)
Xét hàm \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x + 1}}\) \(\forall \,x \in \left[ {0;2} \right]\), ta có bảng biến thiên như sau:
Ta tìm được: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = 2\sqrt 3 – 3\) khi đó: \(M = \max \left\{ {\left| {m + 1} \right|;\left| {m + 2\sqrt 3 – 3} \right|} \right\}\)
Như vậy: \(M \ge \left| {m + 1} \right|\); \(M \ge \left| {3 – 2\sqrt 3 – m} \right|\)\( \Rightarrow 2M \ge \left| {m + 1} \right| + \left| {3 – 2\sqrt 3 – m} \right| \ge 4 – 2\sqrt 3 \).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m = 1 – \sqrt 3 \)\( \Rightarrow {M_{\min }} = 2 – \sqrt 3 \).
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Để lại phản hồi