Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình: \(2 + 2\sin 2x – m{\left( {1 + \cos x} \right)^2} = 0\) có nghiệm \(x \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn C
Với \(x \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) suy ra \(\frac{x}{2} \in \left[ { – \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\), \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\), ta có \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\), \(\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\).
Khi đó phương trình trở thành: \(2{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = m{\left( {1 + \cos x} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} \right)^2} = m{\left( {1 + \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{{2t + 1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} \right)^2} = m{\left( {\frac{2}{{1 + {t^2}}}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2t + 1 – {t^2}} \right)^2} = 2m\) (*)
Xét \(f\left( t \right) = {\left( {2t + 1 – {t^2}} \right)^2}\), \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\).
Ta có \(f’\left( t \right) = 2\left( {2t + 1 – {t^2}} \right)\left( {2 – 2t} \right)\).
\(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t + 1 – {t^2}} \right)\left( {2 – 2t} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1;f\left( 1 \right) = 4\\t = 1 – \sqrt 2 ;f\left( {1 – \sqrt 2 } \right) = 0\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
YCBT\( \Leftrightarrow \) phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\)
\( \Leftrightarrow \mathop {\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right)}\limits_{} \le 2m \le \mathop {\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right)}\limits_{} \)\( \Leftrightarrow 0 \le 2m \le 4\)\( \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\).
Vì \(m \in \mathbb{Z}\)nên có 3 giá trị của \(m\). Chọn
C.
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trả lời