Cho \(m = {\log _a}\sqrt[3]{{ab}}\) với \(a > 1\), \(b > 1\) và \(P = \log _a^2b + 16\,{\log _b}a\). Để \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị \(m\) thuộc khoảng

Câu hỏi:

Cho \(m = {\log _a}\sqrt[3]{{ab}}\) với \(a > 1\), \(b > 1\) và \(P = \log _a^2b + 16\,{\log _b}a\). Để \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị \(m\) thuộc khoảng

A. \(\left( {\frac{1}{2}\,;\,1} \right)\).

B. \(\left( { – 1\,;\,3} \right)\).

C. \(\left( {1\,;\,3} \right)\).

D. \(\left( {3;\,8} \right)\).

Lời giải

Chọn B

Với \(a > 1\), \(b > 1\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{1}{3}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)\\{\log _a}b > 0\end{array} \right.\).

Đặt \(t = {\log _a}b\) \(\left( {t > 0} \right)\)\( \Rightarrow P = \log _a^2b + \frac{{16}}{{{{\log }_a}b}}\)\( = {t^2} + \frac{{16}}{t}\)\( = {t^2} + \frac{8}{t} + \frac{8}{t}\)\( \ge 3.\sqrt[3]{{{t^2}.\frac{8}{t}.\frac{8}{t}}} = 12\).

Dấu bằng xảy ra khi \({t^2} = \frac{8}{t}\)\( \Leftrightarrow {t^3} = 8\)\( \Leftrightarrow t = 2\).

Vậy GTNN của biểu thức \(P = 12\) khi \({\log _a}b = 2\). Suy ra \(m = \frac{1}{3}\left( {1 + 2} \right)\)\( = 1\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số