Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), thỏa mãn \(3x.f\left( x \right) – {x^2}.{f’}\left( x \right) = 2{f^2}\left( x \right),f(x) \ne 0\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f(1) = \frac{1}{2}\). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\). Tính \(M + m\).

Câu hỏi:

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), thỏa mãn \(3x.f\left( x \right) – {x^2}.{f’}\left( x \right) = 2{f^2}\left( x \right),f(x) \ne 0\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f(1) = \frac{1}{2}\). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\). Tính \(M + m\).

A. \(\frac{6}{5}\).

B. \(\frac{7}{5}\).

C. \(\frac{{21}}{{10}}\).

D. \(\frac{9}{{10}}\).

Lời giải

Chọn C

Vì \(x > {\rm{0}}\) nên \(3x.f\left( x \right) – {x^2}.{f’}\left( x \right) = 2{f^2}\left( x \right) \Leftrightarrow 3{x^2}.f\left( x \right) – {x^3}.{f’}\left( x \right) = 2x{f^2}\left( x \right)\).

Vì \(f(x) \ne 0\) nên \(3{x^2}.f\left( x \right) – {x^3}.{f’}\left( x \right) = 2x{f^2}\left( x \right) \Leftrightarrow 3{x^2}.\frac{1}{{f\left( x \right)}} – {x^3}.\frac{{{f’}\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2}.\frac{1}{{f\left( x \right)}} – {x^3}.\frac{{{f’}\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x \Leftrightarrow {\left( {{x^3}.\frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)’} = 2x \Rightarrow {x^3}.\frac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + C\).

mà \(f(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f(x) = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}\).

Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\).

\({f’}(x) = \frac{{{x^4} + 3{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} > 0\)\(\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) suy ra hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\).

Khi đó \(\mathop {Max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} f(x) = f(2) = \frac{8}{5}\), \(\mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} f(x) = f(1) = \frac{1}{2}\) suy ra \(M + m = \frac{{21}}{{10}}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số