Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{{\rm{e}}^{2x}} – 4{{\rm{e}}^x} + m} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]\) bằng \(6\)?

Câu hỏi:

Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{{\rm{e}}^{2x}} – 4{{\rm{e}}^x} + m} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]\) bằng \(6\)?

A. \(3\).

B. \(4\).

C. \(1\).

D. \(2\).

Lời giải

Chọn D

Xét \(x \in \left[ {0\,;\,\ln 4} \right]\). Đặt \(t = {{\rm{e}}^x} \Rightarrow t \in \left[ {1\,;\,4} \right]\). Đặt \(g\left( t \right) = {t^2} – 4t + m\) với \(t \in \left[ {1\,;\,4} \right]\).

Do đó: \(g’\left( t \right) = 2t – 4\). Xét \(g’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2t – 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2\) (nhận).

Ta có: \(g\left( 1 \right) = m – 3\); \(g\left( 2 \right) = m – 4\); \(g\left( 4 \right) = m\).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right) = \left| {{{\rm{e}}^{2x}} – 4{{\rm{e}}^x} + m} \right|\) trên \(\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]\) sẽ thuộc \(A = \left\{ {\left| {m – 3} \right|\,;\,\left| {m – 4} \right|\,;\,\left| m \right|} \right\}\).

⮚ Xét \(\left| {m – 4} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10 \Rightarrow A = \left\{ {7\,;\,6\,;\,10} \right\}\\m = – 2 \Rightarrow A = \left\{ {5\,;\,6\,;\,2} \right\}\end{array} \right.\).

Ta thấy \(m = 10\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]} f\left( x \right) = 6\).

⮚ Xét \(\left| {m – 3} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 9 \Rightarrow A = \left\{ {5\,;\,6\,;\,9} \right\}\\m = – 3 \Rightarrow A = \left\{ {7\,;\,6\,;\,3} \right\}\end{array} \right.\).

⮚ Xét \(\left| m \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6 \Rightarrow A = \left\{ {2\,;\,3\,;\,6} \right\}\\m = – 6 \Rightarrow A = \left\{ {10\,;\,9\,;\,6} \right\}\end{array} \right.\).

Ta thấy \(m = – 6\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]} f\left( x \right) = 6\).

Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số