Cho hàm số \(f(x) = \left| {8{{\cos }^4}x + a{{\cos }^2}x + b} \right|\), trong đó \(a\), \(b\) là các tham số thực. Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số. Tính tổng \(a + b\) khi \(M\) nhận giá trị nhỏ nhất.

Câu hỏi:

Cho hàm số \(f(x) = \left| {8{{\cos }^4}x + a{{\cos }^2}x + b} \right|\), trong đó \(a\), \(b\) là các tham số thực. Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số. Tính tổng \(a + b\) khi \(M\) nhận giá trị nhỏ nhất.

A. \(a + b = – 7\).

B. \(a + b = – 9\).

C. \(a + b = 0\).

D. \(a + b = – 8\).

Lời giải

Chọn A

Xét \(f(x) = \left| {8{{\cos }^4}x + a{{\cos }^2}x + b} \right|\).

Đặt \(t = {\cos ^2}x \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\)\( \Rightarrow f(t) = \left| {8{t^2} + at + b} \right|\) và \(M = \max f(t)\).

Khi đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}M \ge f\left( 0 \right) = \left| b \right|\\M \ge f\left( 1 \right) = \left| {8 + a + b} \right|\\M \ge f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \left| {2 + \frac{a}{2} + b} \right|\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \ge \left| b \right|\\M \ge \left| {8 + a + b} \right|\\2M \ge \left| {4 + a + 2b} \right|\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 4M \ge \left| b \right| + \left| {8 + a + b} \right| + \left| {4 + a + 2b} \right| \ge 4\)

\( \Rightarrow M \ge 1\).

Dấu bằng xảy ra

\( \Leftrightarrow \left| b \right| = \left| {8 + a + b} \right| = \frac{{\left| {4 + a + 2b} \right|}}{2} = 1\) và các số \(b\); \(8 + a + b\);\( – 4 – a – 2b\) cùng dấu.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 8\\b = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(P = a + b = – 7\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số