Đề bài: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({\log _2}\frac{{{4^x} – 1}}{{{4^x} + 1}} = m\) có nghiệm.

Đặt \(t = {4^x} > 1,\) khi đó: \({\log _2}\frac{{{4^x} – 1}}{{{4^x} + 1}} = m \Leftrightarrow m = {\log _2}\frac{{t – 1}}{{t + 1}} & \left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}\frac{{t – 1}}{{t + 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right),\) khi đó ta có: \(f’\left( t \right) = \frac{2}{{\left( {{t^2} – 1} \right)\ln 2}} > 0,\forall t > 0.\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right),\) tính các giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} f\left( t \right) =  – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f\left( t \right) = 0.\)

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (*) có nghiệm khi \(m