Câu hỏi:
Cho n là số nguyên dương. Tìm n sao cho \({\log _a}2019 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2019 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{a}}}2019 + … + {n^2}{\log _{\sqrt[n]{a}}}2019 = {1008^2}{.2017^2}.{\log _a}2019.\)
- A. 2017.
- B. 2019.
- C. 2016.
- D. 2018.
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: C
Áp dụng công thức \({1^3} + {2^3} + {3^3} + … + {n^3} = {\left( {1 + 2 + 3 + … + n} \right)^2}\).
Đặt \(x = {\log _a}2019\)
\( \Rightarrow {\log _a}2019 + {2^3}{\log _a}2019 + {3^3}{\log _a}2019 + … + {n^3}{\log _a}2019 = {1008^2}{.2017^2}{\log _a}2019\)
\( \Leftrightarrow x\left( {{1^3} + {2^3} + {3^3} + … + {n^3}} \right) = {1008^2}{.2017^2}x\)
\( \Leftrightarrow {\left( {1 + 2 + 3 + … + n} \right)^2} = {1008^2}{.2017^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{n + 1}}{2}n} \right)^2} = {1008^2}{.2017^2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{n^2}}}{4}{\left( {n + 1} \right)^2} = \frac{{{{2016}^2}}}{4}{\left( {2016 + 1} \right)^2}\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{4}{\left( {t + 1} \right)^2} \Rightarrow f’\left( t \right) = \frac{t}{2}{\left( {t + 1} \right)^2} + \frac{{{t^2}}}{2}\left( {t + 1} \right) > 0,\forall t \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến với \(t \in {\mathbb{Z}^ + }\).
Suy ra \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( n \right) = f\left( {2016} \right) \Rightarrow n = 2016\).
=====
Xem lại lý thuyết và ví dụ học toán 12
Trả lời