Đề bài: Phương trình \(\frac{{x – 2}}{{\sqrt {x – 3} }} = {\log _3}\frac{{\sqrt {x – 3} }}{{x – 2}}\) có mấy nghiệm?

Ta có: \({\log _2}\frac{{x – 2}}{{\sqrt {x – 3} }} = {\log _3}\frac{{\sqrt {x – 3} }}{{x – 2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\{\log _2}\left( {x – 2} \right) + {\log _3}\left( {x – 2} \right) = {\log _2}\sqrt {x – 3}  + {\log _3}\sqrt {x – 3} \,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {\log _3}t\) là hàm đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Khi đó: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 2 = \sqrt {x – 3} \\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 5{\rm{x}} + 7 = 0\\x > 3\end{array} \right.\) (vô nghiệm).

Vậy PT đã cho vô nghiệm.