Câu hỏi:
Tìm m để phương trình \(\ln x = m{x^4}\) có đúng một nghiệm biết m là số thực dương.
- A. \(m = \frac{1}{{4e}}\)
- B. \(m = \frac{1}{{4{e^4}}}\)
- C. \(m = \frac{{{e^4}}}{4}\)
- D. \(m = \frac{4}{{\sqrt[4]{e}}}\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: A
Điều kiện x > 0
Với m > 0, xét hàm số \(f(x) = m{x^4} – \ln x = 0\) trên \((0;+\infty )\)
Ta có với x > 0 thì:
\(f'(x) = 4m{x^3} – \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)
\(f'(x)
\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty\)
Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi nghiệm đó chính là \(x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\).
Ta có: \(f\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow m.\frac{1}{{4m}} – \ln \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}\ln (4m) = – 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{{4e}}\)
=====
Xem lại lý thuyết và ví dụ học toán 12
Trả lời