Đề bài: Tìm m để phương trình \(\ln x = m{x^4}\) có đúng một nghiệm biết m là số thực dương.

Điều kiện x > 0

Với m > 0, xét hàm số \(f(x) = m{x^4} – \ln x = 0\) trên \((0;+\infty )\)

Ta có với x > 0 thì:

\(f'(x) = 4m{x^3} – \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)

\(f'(x)

\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\)

Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty\)

Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi nghiệm đó chính là \(x = \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}\).

Ta có: \(f\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow m.\frac{1}{{4m}} – \ln \frac{1}{{\sqrt[4]{{4m}}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}\ln (4m) = – 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{{4e}}\)