Đề bài: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^{ – z}} + 1} \right).lo{g_2}\left( {{{2.5}^{ – z}} + 2} \right) = m\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)

\({\log _2}\left( {{5^{ – z}} + 1} \right).lo{g_2}\left( {{{2.5}^{ – z}} + 2} \right) = m \Leftrightarrow {\log _2}({5^{ – z}} + 1)\left[ {1 + {{\log }_2}({5^{ – z}} + 1)} \right] = m.\)

Đặt \(t = {\log _2}({5^{ – z}} + 1) \Rightarrow m = t(t + 1) = f\left( t \right)\)

Với \(z \in \left( {0; + \infty } \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}t > {\log _2}1 = 0\\t

Xét hàm số \(f(t) = t(t + 1)\) trên (0;1)

Ta có: \(f'(t) = 2t;\,\,f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi: \(f\left( 0 \right)