Đề bài: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ đáy là tam giác vuông có $BA=BC=a$, cạnh bên $AA'=a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM,B'C$.

Lời giải

Vì $ABC.A’B’C’$ là hình lăng trụ đứng và $\widehat{ABC}=90^0$ nên ta dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc tọa độ là $B$.

Trong hệ trục tọa độ này ta có:
$B=(0;0;0); A=(0;a;0); C=(a;0;0); B’=(0;0;a\sqrt{2})$.
Từ đó ta có: $M=(\frac{a}{2};0;0)$.
Vì thế phép tính tọa độ của vectơ ta có: $\overrightarrow{AM}=(\frac{a}{2};-a;0); \overrightarrow{B’C}=(a;0;-a\sqrt{2})$.
Áp dụng công thức khoảng cách ta có: $d(AM,B’C)=\frac{|[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{B’C}]\overrightarrow{AB’}|}{|[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{B’C}]|}   (1)$
Ta có: $[AM,B’C]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-a}}&{{0}}\\
{{0}}&{{-a\sqrt{2}}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

{{0}}&{{\frac{a}{2}}}\\

{{-a\sqrt{2}}}&{{a}}

\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}

{{\frac{a}{2}}}&{{-a}}\\

{{a}}&{{0}}

\end{array}} \right|)=(a^2\sqrt{2};\frac{a^2\sqrt{2}}{2};a^2) (2)$
Vì $\overrightarrow{AB}=(0;-a;a\sqrt{2})$ nên từ $(2)$ ta có:
$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}].\overrightarrow{AB}=\frac{-a^3\sqrt{2}}{2}+a^2\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}  (3)$
Thay $(2),(3)$ vào $(1)$ ta có: $d(AM,B’C)=\frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{2a^4+\frac{a^4}{2}+a^4}}=\frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{2}}{a^2\sqrt{\frac{7}{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{7}$