Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thoi cạnh $AB=\sqrt{5}$, đường chéo $AC=4, SO=2\sqrt{2}$; và $SO$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$, ở đây, $O$ là giao điểm của $AC,BD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SC$. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA,BM$.

Lời giải

Ta có: $MO//SA\Rightarrow SA \bot (OMB)$
$\Rightarrow d(SA,BM)=d(SA,(MOB))=d(S,(MOB))=d(C,(MOB)) (1)$
Ta có: $BO \bot AC ; BO \bot SO (SO \bot (ABCD) \Rightarrow BO \bot (SAC)$.
Kẻ $CH \bot OM (H \in OM )\Rightarrow CH \bot (BOM)$.
(do $BO \bot (OMC) \Rightarrow (BOM)\bot (MOC))$.

Ta có: $MO=\frac{SA}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(2\sqrt{2})^2+2^2}=\sqrt{3}$.
Lại có: $MC=\frac{1}{2}SC=\frac{1}{2}SA=\sqrt{3}$.
Trong tam giác câ $COM$ đỉnh $M$ kẻ $MK \bot OC$,
Ta có: $MK^2=MO^2-OK^2=3-1=2\Rightarrow MK=\sqrt{2}$
Trong tam giác $OBC$, ta có:
$MK.OC=MO.CH\Rightarrow CH=\frac{\sqrt{2}.2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}  (2)$
Vậy từ  $(1),(2)$ suy ra $d(SA,BM)=d(C,(MOB))$.