Lời giải
Dễ thấy $SA \bot (ABC)$ và $\widehat{SBA}$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SBC),(ABC)\Rightarrow \widehat{SBA}=60^0 $
Kẻ $NK//AB$, khi đó $K$ là trung điểm $BC$.
Ta có: $AB//NK \Rightarrow AB //(SNK)$
Vì thế $d(AB,SN)=d(AB,(SNK))=d(M,(SNK)) (1)$
Do $S_{MBK}=S_{MNK}=S_{NKC}\Rightarrow S_{MNK}=\frac{1}{3}S_{BMNC}$
$\Rightarrow V_{S.MNK}=\frac{1}{3}V_{S.BCMN} (2)$
Dễ dàng tính được $V_{S.BCMN}=a^3\sqrt{3}$
Nên từ $(2)$ ta có: $V_{S.MNK}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3} =V_{M.SNK}$
Mà $V_{M.SNK}=\frac{1}{3}h.S_{SNK}$, ở đây $h=d(M,(SNK))$
Nên suy ra $h=\frac{3V_{M.SNK}}{S_{SNK}}=\frac{a^3\sqrt{3}}{S_{SNK}} (3)$
kẻ $AH \bot NK \Rightarrow AH=BK=\frac{1}{2}BC=a$.
Theo định lí ba đường vuông góc ta có $SH \bot NK$.
Ta có: $SH=\sqrt{SA^2+AH^2}=\sqrt{12a^2+a^2}=a\sqrt{13}$
Vì thế $S_{SNK}=\frac{1}{2}NK.SH=\frac{1}{2}a^2\sqrt{13} (4)$
Từ $(3),(4)$ suy ra $h=\frac{a^3\sqrt{3}}{\frac{a^2}{2}\sqrt{13}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.
Trả lời