Đề bài: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ , đáy là tam giác vuông cân tại $B$, trong đó $AB=BC=2a$. Giả sử hai mặt phẳng $(SAB),(SAC)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Mặt phẳng qua  $SM$ và song song với $BC $ cắt $AC$ tại $N$ . Biết rằng hai mặt phẳng $(SBC),(ABC) $ tạo với nhau một góc $60^0$. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB,SN$ theo $a$

Lời giải

Dễ thấy $SA \bot (ABC)$ và $\widehat{SBA}$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SBC),(ABC)\Rightarrow \widehat{SBA}=60^0 $
Kẻ $NK//AB$, khi đó $K$ là trung điểm $BC$.
Ta có: $AB//NK \Rightarrow AB //(SNK)$
Vì thế $d(AB,SN)=d(AB,(SNK))=d(M,(SNK)) (1)$
Do $S_{MBK}=S_{MNK}=S_{NKC}\Rightarrow S_{MNK}=\frac{1}{3}S_{BMNC}$
  $\Rightarrow V_{S.MNK}=\frac{1}{3}V_{S.BCMN}   (2)$
Dễ dàng tính được $V_{S.BCMN}=a^3\sqrt{3}$
Nên từ $(2)$ ta có: $V_{S.MNK}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}  =V_{M.SNK}$
Mà $V_{M.SNK}=\frac{1}{3}h.S_{SNK}$, ở đây $h=d(M,(SNK))$
Nên suy ra $h=\frac{3V_{M.SNK}}{S_{SNK}}=\frac{a^3\sqrt{3}}{S_{SNK}}  (3)$
kẻ $AH \bot NK \Rightarrow AH=BK=\frac{1}{2}BC=a$.

Theo định lí ba đường vuông góc ta có $SH \bot NK$.
Ta có: $SH=\sqrt{SA^2+AH^2}=\sqrt{12a^2+a^2}=a\sqrt{13}$
Vì thế $S_{SNK}=\frac{1}{2}NK.SH=\frac{1}{2}a^2\sqrt{13}  (4)$
Từ $(3),(4)$ suy ra $h=\frac{a^3\sqrt{3}}{\frac{a^2}{2}\sqrt{13}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.