Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,BC=a,SA=SB=SC=\frac{a\sqrt{3} }{2} $$a.$ Tính khoảng cách từ $S$ tới mặt phẳng $(ABC)$$b.$ Tính góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$

Lời giải

$a.$ Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ suy ra $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Ngoài ra theo giả thiết ta có : $SA=SB=SC$ nên  $SO$ là trục đường tròn của ba $\Delta ABC$ suy ra:
$SO\bot (ABC)$ và $SO=d(S,(ABC))$
Trong $\Delta SAO$ vuông tại $O$ ta có :
$OA=\frac{1}{2} BC=\frac{a}{2} $ trung tuyến thuộc cạnh huyền
$SO^2=SA^2-OA^2=(\frac{a\sqrt{3} }{2} )^2-(\frac{a}{2} )^2=\frac{a^2}{2} $
$\Rightarrow  SO=\frac{a\sqrt{2} }{2} $
$b.$ Vì $SO\bot (ABC)$ nên $OA$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ trên $(ABC)$ do đó:
$(SA,(ABC))=\widehat{SAO} $
Trong $\Delta SAO$ vuông tại $O$ ta có:
$cos\widehat{SAO}=\frac{OA}{SA}=\frac{\frac{a}{2} }{\frac{a\sqrt{3} }{2} }   =\frac{\sqrt{3} }{3} $
Vậy ta được $cos(SA,(ABC))=\frac{\sqrt{3} }{3} $