DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho với mọi số thực \(y\) luôn thỏa mãn \({\log _4}{\left( {8 + {y^2}} \right)^2} – {\log _5}\frac{x}{{390625}} \ge {x^{{{\log }_5}2}} – {y^2}\)
A. \(125\).
B. \(124\).
C. \(243\).
D. Vô số.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Điều kiện \(x > 0\).
Khi đó ta có \({\log _4}{\left( {8 + {y^2}} \right)^2} + {y^2} \ge {\log _5}\frac{x}{{390625}} + {x^{{{\log }_5}2}}\).
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {8 + {y^2}} \right) + {y^2} \ge {\log _5}x – 8 + {x^{{{\log }_5}2}}\).
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {8 + {y^2}} \right) + {y^2} + 8 \ge {\log _5}x + {2^{{{\log }_5}x}}\).
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {8 + {y^2}} \right) + {2^{{{\log }_2}\left( {8 + {y^2}} \right)}} \ge {\log _5}x + {2^{{{\log }_5}x}}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {2^t},\,\,t \in \mathbb{R}\) suy ra \(f\left( {{{\log }_2}\left( {8 + {y^2}} \right)} \right) \ge f\left( {{{\log }_5}x} \right)\).
Ta có \(f’\left( t \right) = 1 + {2^t}.\ln 2 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\).
Suy ra \(f\left( {{{\log }_2}\left( {8 + {y^2}} \right)} \right) \ge f\left( {{{\log }_5}x} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {8 + {y^2}} \right) \ge {\log _5}x\).
Ta lại có \({\log _2}\left( {8 + {y^2}} \right) \ge {\log _2}8 = 3,\forall y \in \mathbb{R}\) suy ra \({\log _5}x \le 3 \Leftrightarrow x \le 125\).
Vậy ta được \(1 \le x \le 125\) suy ra có \(125\) giá trị nguyên của \(x\) thì bài toán thỏa mãn.
Trả lời