Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho với mọi số thực \(y\) luôn thỏa mãn \({\log _4}{\left( {8 + {y^2}} \right)^2} – {\log _5}\frac{x}{{390625}} \ge {x^{{{\log }_5}2}} – {y^2}\) 

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho với mọi số thực \(y\) luôn thỏa mãn \({\log _4}{\left( {8 + {y^2}} \right)^2} – {\log _5}\frac{x}{{390625}} \ge {x^{{{\log }_5}2}} – {y^2}\) 

A. \(125\). 

B. \(124\). 

C. \(243\). 

D. Vô số.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện \(x > 0\). 

Khi đó ta có \({\log _4}{\left( {8 + {y^2}} \right)^2} + {y^2} \ge {\log _5}\frac{x}{{390625}} + {x^{{{\log }_5}2}}\). 

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {8 + {y^2}} \right) + {y^2} \ge {\log _5}x – 8 + {x^{{{\log }_5}2}}\).

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {8 + {y^2}} \right) + {y^2} + 8 \ge {\log _5}x + {2^{{{\log }_5}x}}\). 

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {8 + {y^2}} \right) + {2^{{{\log }_2}\left( {8 + {y^2}} \right)}} \ge {\log _5}x + {2^{{{\log }_5}x}}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {2^t},\,\,t \in \mathbb{R}\) suy ra \(f\left( {{{\log }_2}\left( {8 + {y^2}} \right)} \right) \ge f\left( {{{\log }_5}x} \right)\). 

Ta có \(f’\left( t \right) = 1 + {2^t}.\ln 2 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(f\left( {{{\log }_2}\left( {8 + {y^2}} \right)} \right) \ge f\left( {{{\log }_5}x} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {8 + {y^2}} \right) \ge {\log _5}x\). 

Ta lại có \({\log _2}\left( {8 + {y^2}} \right) \ge {\log _2}8 = 3,\forall y \in \mathbb{R}\) suy ra \({\log _5}x \le 3 \Leftrightarrow x \le 125\). 

Vậy ta được \(1 \le x \le 125\) suy ra có \(125\) giá trị nguyên của \(x\) thì bài toán thỏa mãn.