Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(x \in \left[ { – 2021;2021} \right]\) sao cho bất phương trình \(9\left( {{{\log }_{27}}\sqrt[3]{y} – {3^x}} \right) > x – 3y + 1\) nghiệm đúng với mọi số nguyên dương \(y\)? 

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(x \in \left[ { – 2021;2021} \right]\) sao cho bất phương trình \(9\left( {{{\log }_{27}}\sqrt[3]{y} – {3^x}} \right) > x – 3y + 1\) nghiệm đúng với mọi số nguyên dương \(y\)? 

A. \(2020\). 

B. \(4040\). 

C. \(4038\). 

D. \(2019\). 

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(9\left( {{{\log }_{27}}\sqrt[3]{y} – {3^x}} \right) > x – 3y + 1 \Leftrightarrow 9\left( {\frac{1}{9}{{\log }_3}y – {3^x}} \right) > x – 3y + 1\).

\( \Leftrightarrow {\log _3}y – {3^{x + 2}} > x – 3y + 1 \Leftrightarrow x + 2 + {3^{x + 2}} < {\log _3}y + 3y + 1\).

\( \Leftrightarrow x + 2 + {3^{x + 2}} < {\log _3}\left( {3y} \right) + {3^{{{\log }_3}\left( {3y} \right)}}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {3^t},t \in \mathbb{R}\) ta có \(f’\left( t \right) = 1 + {3^t}\ln 3 > 0,\forall t \in \mathbb{R}\).

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Từsuy ra \(f\left( {x + 2} \right) < f\left( {{{\log }_3}3y} \right) \Leftrightarrow x + 2 < {\log _3}3y.\)

Vì \(y \ge 1\) nên \({\log _3}3y \ge 1\) suy ra \(\mathop {\min }\limits_{y \in {\mathbb{N}^*}} \left( {{{\log }_3}3y} \right) = 1.\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow x + 2 < {\log _3}3y,\forall y \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow x + 2 < \mathop {\min }\limits_{y \in {\mathbb{N}^*}} \left( {{{\log }_3}3y} \right) \Leftrightarrow x <  – 1.\)

Do \(x \in \mathbb{Z}\) và \(x \in \left[ { – 2021;2021} \right]\) nên suy ra \(x \in \left\{ { – 2021; – 2020; \ldots ; – 2} \right\}.\)

Vậy có tất cả \(2020\) số nguyên \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.