Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương\(y\)sao cho ứng với mỗi\(y\)thì bất phương trình \(({\log _3}x + x – 12)({\log _3}x – y) < 0\) có nghiệm nguyên \(x\) và đồng thời có không quá 100 số nguyên \(x\)?
A. \(1\).
B. \(2\).
C. \(4\).
D. \(3\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
\(({\log _3}x + x – 12)({\log _3}x – y) < 0\,\,\,(*)\)
Điều kiện: \(x > 0\)
Đặt \(f(x) = {\log _3}x + x – 12\)
Hàm số \(f(x)\) liên tục trên \((0\,;\, + \infty )\)và \(f(9).f(10) = – 1.({\log _3}10 – 2) < 0\)nên phương trình \(f(x) = 0\) có nghiệm \({x_0} \in (9\,;\,10)\)
Mặt khác: \(f(x) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}x = 12 – x\), trong đó hàm số \(y = {\log _3}x\) đồng biến trên \((0\,;\, + \infty )\) và hàm số \(y = 12 – x\) nghịch biến trên \((0\,;\, + \infty )\)
Từvàsuy ra phương trình \(f(x) = 0\) có nghiệm duy nhất \({{\rm{x}}_0} \in (9\,;\,10)\).
\(x\) | \(0\) \({x_0}\)\( + \infty \) |
\(f(x) = {\log _3}x + x – 12\) | – 0 + |
Nếu \(x < {x_0}\): \((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}x + x – 12 < 0\\{\log _3}x – y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 9\\x > {3^y}\end{array} \right.\)
Suy ra \(1 \le {3^y} < x \le 9 \Rightarrow 0 \le y < 2 \Rightarrow y = 1\)
Nếu \(x > {x_0}\): \((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}x + x – 12 > 0\\{\log _3}x – y < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 10\\x < {3^y}\end{array} \right.\)
Vì tồn tại không quá 100 giá trị nguyên của \(x\) nên ta có: \(10 \le x \le 109\)
Do đó \(10 < {3^y} \le 110 \Leftrightarrow {\log _3}10 < y \le {\log _3}110 \Rightarrow y \in \left\{ {3;4} \right\}\)
Vậy \(y \in \left\{ {1;3;4} \right\}\)nên có 3 giá trị của \(y\)thỏa yêu cầu bài toán.
Trả lời