Có bao nhiêu số nguyên dương\(y\)sao cho ứng với mỗi\(y\)thì bất phương trình \(({\log _3}x + x – 12)({\log _3}x – y) < 0\) có nghiệm nguyên \(x\) và đồng thời có không quá 100 số nguyên \(x\)?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương\(y\)sao cho ứng với mỗi\(y\)thì bất phương trình \(({\log _3}x + x – 12)({\log _3}x – y) < 0\) có nghiệm nguyên \(x\) và đồng thời có không quá 100 số nguyên \(x\)?

A. \(1\). 

B. \(2\). 

C. \(4\). 

D. \(3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

\(({\log _3}x + x – 12)({\log _3}x – y) < 0\,\,\,(*)\)

Điều kiện: \(x > 0\) 

Đặt \(f(x) = {\log _3}x + x – 12\) 

Hàm số \(f(x)\) liên tục trên \((0\,;\, + \infty )\)và \(f(9).f(10) =  – 1.({\log _3}10 – 2) < 0\)nên phương trình \(f(x) = 0\) có nghiệm \({x_0} \in (9\,;\,10)\) 

Mặt khác: \(f(x) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}x = 12 – x\), trong đó hàm số \(y = {\log _3}x\) đồng biến trên \((0\,;\, + \infty )\) và hàm số \(y = 12 – x\) nghịch biến trên \((0\,;\, + \infty )\) 

Từvàsuy ra phương trình \(f(x) = 0\) có nghiệm duy nhất \({{\rm{x}}_0} \in (9\,;\,10)\).

\(x\)	\(0\) \({x_0}\)\( + \infty \)
\(f(x) = {\log _3}x + x – 12\)	– 0 +

Nếu \(x < {x_0}\): \((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}x + x – 12 < 0\\{\log _3}x – y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 9\\x > {3^y}\end{array} \right.\) 

Suy ra \(1 \le {3^y} < x \le 9 \Rightarrow 0 \le y < 2 \Rightarrow y = 1\)

Nếu \(x > {x_0}\): \((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}x + x – 12 > 0\\{\log _3}x – y < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 10\\x < {3^y}\end{array} \right.\)

Vì tồn tại không quá 100 giá trị nguyên của \(x\) nên ta có: \(10 \le x \le 109\) 

Do đó \(10 < {3^y} \le 110 \Leftrightarrow {\log _3}10 < y \le {\log _3}110 \Rightarrow y \in \left\{ {3;4} \right\}\) 

Vậy \(y \in \left\{ {1;3;4} \right\}\)nên có 3 giá trị của \(y\)thỏa yêu cầu bài toán.