Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) tồn tại và có không quá \(8\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {3x – 27} \right)\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x – y} \right) < 0\)

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) tồn tại và có không quá \(8\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {3x – 27} \right)\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x – y} \right) < 0\)

A. 3. 

B. 4. 

C. 5. 

D. 6.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(x > 0\)

Ta có \(\left( {3x – 27} \right)\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x – y} \right) < 0\) với \(x \in \mathbb{Z}\) và \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\)

TH1: Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}3x – 27 > 0\\{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x – y < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 9\\x < {2^y}\end{array} \right.\).

Theo giả thiết, mỗi \(y\) tồn tại và có không quá \(8\) số nguyên \(x\), mà \(x > 9\) nên ta có: 

\(9 < x < {2^y} \le 18\)\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}9 < y \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}18\). Do \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên ta có \(1\) giá trị \(y = 4\) thỏa mãn yêu cầu.

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}3x – 27 < 0\\{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x – y > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 9\\x > {2^y}\end{array} \right.\).

Theo giả thiết, mỗi \(y\) tồn tại và có không quá \(8\) số nguyên \(x\), mà \(x < 9\) nên ta có 

\({2^y} < x < 9\)\( \Leftrightarrow y < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}9\). Do \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên ta có \(2\) giá trị \(y \in \left\{ {1;2} \right\}\) thỏa mãn yêu cầu.

Vậy tất cả có \(3\) giá trị \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.