Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) thì bất phương trình \(\left( {{3^x} + x – 11} \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\) có nghiệm nguyên và đồng thời có không quá 6 số nguyên \(x\)?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) thì bất phương trình \(\left( {{3^x} + x – 11} \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\) có nghiệm nguyên và đồng thời có không quá 6 số nguyên \(x\)?

A. 19650. 

B. vô số. 

C. 19656. 

D. 19658.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét \(g\left( x \right) = {3^x} + x – 11\)

\(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {3^x} = 11 – x\), khi đó phương trình có duy nhất một nghiệm \(x = 2\).

Bảng xét dấu

\(x\)	\( – \infty \)                   2                      \( + \infty \)
\(g\left( x \right)\)	0       +

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} – y < 0\\{3^x} + x – 11 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < {\log _3}y\\x > 2\end{array} \right.\)

mà \(y\) là số nguyên dương sao cho ứng với mỗi \(y\) có đồng thời và có không quá 6 số nguyên \(x\) nên \(3 < {\log _3}y \le 9 \Leftrightarrow {3^3} < y \le {3^9}\), vậy ta có 19656 số nguyên dương \(y\) thỏa mãn đề

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} – y > 0\\{3^x} + x – 11 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > {\log _3}y\\x < 2\end{array} \right.\)

mà \(y\) là số nguyên dương sao cho ứng với mỗi \(y\) có đồng thời và có không quá 6 số nguyên \(x\) nên \(1 > {\log _3}y \ge  – 5 \Leftrightarrow 3 > y > \frac{1}{{{3^5}}}\). Vậy có 2 số nguyên dương \(y = 1;\,2\)thỏa đề

Kết luận: có 19658 số nguyên dương \(y\) thỏa mãn đề.