Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) có không quá \(10\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \({\log ^2}x + \left( {\frac{1}{2} – y} \right)\log x – \frac{y}{2} < 0\)?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) có không quá \(10\) số nguyên \(x\) thỏa mãn \({\log ^2}x + \left( {\frac{1}{2} – y} \right)\log x – \frac{y}{2} < 0\)?

A. \(3\). 

B. \(2\). 

C. \(4\). 

D. \(1\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(x > 0\) 

Đặt \(t = \log x\), bất phương trình trở thành\({t^2} + \left( {\frac{1}{2} – y} \right)t – \frac{y}{2} < 0\).

Ta có \({t^2} + \left( {\frac{1}{2} – y} \right)t – \frac{y}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = y\\t = \frac{{ – 1}}{2}\end{array} \right.\).

Do \(y \in {\mathbb{N}^*}\) nêncó nghiệm là \(\frac{{ – 1}}{2} < t < y\). 

Suy ra \(\frac{{ – 1}}{2} < \log x < y \Leftrightarrow {10^{\frac{{ – 1}}{2}}} < x < {10^y}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {10} }} < x < {10^y}\).

Ứng với mỗi giá trị \(y \in {\mathbb{N}^*}\) có không quá 10 giá trị nguyên của \(x \in \left( {\frac{1}{{\sqrt {10} }};{{10}^y}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {10^y} \le 11 \Leftrightarrow y \le \log 11\). 

Mà \(y \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow y = 1\).

Vậy có 1 số nguyên dương \(y\) thỏa.