Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) bất phương trình \(2\log _2^2x – \left( {2y + \sqrt 2 } \right){\log _2}x + \sqrt 2 y < 0\) có nghiệm nguyên \(x\) và số nghiệm nguyên \(x\) không vượt quá \(10\)?

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y\) bất phương trình \(2\log _2^2x – \left( {2y + \sqrt 2 } \right){\log _2}x + \sqrt 2 y < 0\) có nghiệm nguyên \(x\) và số nghiệm nguyên \(x\) không vượt quá \(10\)?

A. \(1\). 

B. \(3\). 

C. \(4\). 

D. \(2\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(x > 0\).

Đặt \(t = {\log _2}x\), bất phương trình trở thành \(2{t^2} – \left( {2y + \sqrt 2 } \right)t + \sqrt 2 y < 0\).

Ta có \(2{t^2} – \left( {2y + \sqrt 2 } \right)t + \sqrt 2 y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = y\\t = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\).

Do \(y \in {\mathbb{N}^*}\) nêncó nghiệm là \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} < t < y\). 

Suy ra \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} < {\log _2}x < y\)\( \Leftrightarrow {2^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} < x < {2^y}\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y > 1\\{2^y} \le 12\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < y \le {\log _2}12\).

Mà \(y \in {\mathbb{N}^*}\)\( \Rightarrow y \in \left\{ {2;3} \right\}\).

Vậy có 2 số nguyên dương \(y\) thỏa yêu cầu bài toán.