Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(3f\left( {{x^2} – 4x} \right) = m\) có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(3f\left( {{x^2} – 4x} \right) = m\) có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
======

Đặt \(u = {x^2} – 4x\) (1)

Ta có BBT sau:

Ta thấy:

+ Với u < -4, phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với u = -4, phương trình (1) có một nghiệm x = 2 > 0.

+ Với – 4 < u < 0, phương trình (1) có hai nghiệm x > 0.

+ Với \(u \ge 0\), phương trình (1) có một nghiệm x > 0

Khi đó \(3f\left( {{x^2} – 4x} \right) = m \Rightarrow f\left( u \right) = \frac{m}{3}\) (2), ta thấy:

+ Nếu \(\frac{m}{3} = – 3 \Leftrightarrow m = – 9\), phương trình (2) có một nghiệm u = 0 nên phương trình đã cho có một nghiệm x > 0.

+ Nếu \(- 3 < \frac{m}{3} < – 2 \Leftrightarrow – 9 < m < – 6\), phương trình (2) có một nghiệm u > 0 và một nghiệm \(u \in \left( { – 2;0} \right)\) nên phương trình đã cho có ba ngiệm x > 0.

+ Nếu \(\frac{m}{3} = – 2 \Leftrightarrow m = – 6\), phương trình (2) có một nghiệm u = -4, một nghiệm \(u \in \left( { – 2;0} \right)\) và một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có bốn nghiệm x > 0.

+ Nếu \( – 2 < \frac{m}{3} < 2 \Leftrightarrow – 6 < m < 6\), phương trình (2) có một nghiệm u < -4, hai nghiệm \(u \in \left( { – 4;0} \right)\) và một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có năm nghiệm x > 0.

+ Nếu \(\frac{m}{3} = 2 \Leftrightarrow m = 6\), phương trình (2) có một nghiệm u < – 4, một nghiệm u = -2 và một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có ba nghiệm x > 0.

+ Nếu \(\frac{m}{3} > 2 \Leftrightarrow m > 6\), phương trình (2) có một nghiệm u < -4 và một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có một nghiệm x > 0.

Vậy \( – 9 < m \le 6\) ⇒ có 15 giá trị m nguyên thỏa ycbt.