Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc đoạn \(\left[ {0;2022} \right]\) để bất phương trình \(\left[ {\left( {m – 1} \right){4^x} – \frac{2}{{{4^x}}} + 2m + 1} \right]\left( { – x + {4^{1 – x}}} \right) \le 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\) thuộc \(\left[ {0;1} \right)\)? 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc đoạn \(\left[ {0;2022} \right]\) để bất phương trình \(\left[ {\left( {m – 1} \right){4^x} – \frac{2}{{{4^x}}} + 2m + 1} \right]\left( { – x + {4^{1 – x}}} \right) \le 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\) thuộc \(\left[ {0;1} \right)\)? 

A. \(1011\) . 

B. \(2021\) . 

C. \(2022\) . 

D. \(1\) .

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số: \(f\left( x \right) =  – x + {4^{1 – x}} \Rightarrow f’\left( x \right) =  – 1 – {4^{1 – x}}.\ln 4 < 0\,\,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). 

Do đó: \(\forall x \in \left[ {0\,;1} \right)\) \( \Rightarrow f\left( 0 \right) \ge f\left( x \right) > f\left( 1 \right)\) hay \(4 \ge  – x + {4^{1 – x}} > 0\). 

Bất phương trình đã cho tương đương với: \(\left( {m – 1} \right){4^x} – \frac{2}{{{4^x}}} + 2m + 1 \le 0\,,\,\,\forall x \in \left[ {0\,;1} \right)\). 

Biến đổi BPT về dạng \(m \le \frac{{{4^{2x}} – {4^x} + 2}}{{{4^x}\left( {{4^x} + 2} \right)}}\,,\,\,\,\forall x \in \left[ {0\,;1} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\). 

Đặt \(t = {4^x}\). Với \(x \in \left[ {0\,;1} \right)\) \( \Rightarrow t \in \left[ {1\,;4} \right)\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{{t^2} – t + 2}}{{{t^2} + 2t}}\), với \(t \in \left[ {1\,;4} \right)\)\( \Rightarrow g’\left( t \right) = \frac{{3{t^2} – 4t – 4}}{{{{\left( {{t^2} + 2t} \right)}^2}}}\). 

Cho \(g’\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t =  – \frac{2}{3} \notin \left[ {1\,;4} \right)\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\). Vì \(m\) thuộc đoạn \(\left[ {0;2022} \right]\) nên có giá trị \(m = 0\) thỏa mãn.