Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m \in \left( { – 20;20} \right)\) để hàm số \(y = \left| {{x^3} – 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 3m\left( {m + 4} \right)x} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)?

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m \in \left( { – 20;20} \right)\) để hàm số \(y = \left| {{x^3} – 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 3m\left( {m + 4} \right)x} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)?

A. \(37\).

B. \(32\).

C. \(35\).

D. \(3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) với \(f\left( x \right) = {x^3} – 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 3m\left( {m + 4} \right)x\).

Khi đó \(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 6\left( {m + 2} \right)x + 3m\left( {m + 4} \right) = 3\left( {x – m} \right)\left( {x – m – 4} \right)\).

Ta có \(y’ = \frac{{f\left( x \right).f’\left( x \right)}}{{\left| {f\left( x \right)} \right|}}\).

Do đó, hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến \( \Leftrightarrow y’ \ge 0 \Leftrightarrow f\left( x \right).f’\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\f’\left( x \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \le 0\\f’\left( x \right) \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\f’\left( x \right) \ge 0\end{array} \right.\). Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2 \le m\\m + 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le – 4\end{array} \right.\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \le 0\\f’\left( x \right) \le 0\end{array} \right.\). Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\2 \le m + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow – 2 \le m \le 0\).

Vậy có 37 giá trị của tham số \(m \in \left( { – 20;20} \right)\) để hàm số \(y = \left| {{x^3} – 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 3m\left( {m + 4} \right)x} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC