Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn điều kiện đề bài \(0 \le x \le 2020\) và \(3\left( {{9^y} + 2y} \right) = x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3} – 2\)?

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn điều kiện đề bài \(0 \le x \le 2020\) và \(3\left( {{9^y} + 2y} \right) = x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3} – 2\)?

A. \(2\). 

B. \(4\). 

C. \(5\). 

D. \(3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

– Tự luận: 

Ta có: 

\(\begin{array}{l}3\left( {{9^y} + 2y} \right) = x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3} – 2 \Leftrightarrow 3\left( {{9^y} + 2y} \right) = x + 3{\log _3}\left( {x + 1} \right) – 2\\ \Leftrightarrow {3^{2y + 1}} + 3\left( {2y + 1} \right) = \left( {x + 1} \right) + 3{\log _3}\left( {x + 1} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + 3t\). Ta có: \({f^’}\left( t \right) = {3^t}.\ln 3 + 3 > 0\), \(\forall t\).

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) liên tục và đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {2y + 1} \right) = f\left( {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2y + 1 = {\log _3}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow x = {3^{2y + 1}} – 1\).

Vì \(0 \le x \le 2020\) nên \(0 \le {3^{2y + 1}} – 1 \le 2020 \Leftrightarrow \frac{{ – 1}}{2} \le y \le \frac{{{{\log }_3}2021 – 1}}{2}\).

Do \(y\) nguyên nên \(y \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2} \right\}\).

\( \Rightarrow \left( {x\,;\,y} \right) \in \left\{ {\left( {2\,;\,0} \right)\,;\,\left( {26\,;\,1} \right)\,;\,\left( {242\,;\,2} \right)} \right\}\) do đó có 3 cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\)thỏa mãn.

– Tư duy + C. asio:

– Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho \(y = 0.01 \to x = ?\)

– Tư duy độc quyền xuất hiện: Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^’} = {9^y} + 2y\\{x^’} = x + {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^3}\end{array} \right. \Rightarrow 3{y^’} = {x^’} – 2\)

– Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho \({y^’} = 0.01 \to {x^’} = 2.03 = 3{y^’} + 2 = 3\left( {{9^y} + 2y} \right) + 2\)

– Vì \(0 \le x \le 2020\) nên \(0 \le {3^{2y + 1}} – 1 \le 2020 \Leftrightarrow \frac{{ – 1}}{2} \le y \le \frac{{{{\log }_3}2021 – 1}}{2}\).

– Do \(y\) nguyên nên \(y \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2} \right\}\).

\( \Rightarrow \left( {x\,;\,y} \right) \in \left\{ {\left( {2\,;\,0} \right)\,;\,\left( {26\,;\,1} \right)\,;\,\left( {242\,;\,2} \right)} \right\}\) do đó có 3 cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right)\)thỏa mãn.

– Tư duy + Mẹo:

– Ta thấy đề cho đáp án 2-4-5-3, khá ít cặp thỏa mãn thì các bạn chỉ cần thử lần lượt \(y = 0 \to x = ?\), \(y = 0 \to x = ?\), \(y = 0 \to x = ?\), … khi giải ra không được nữa, giới hạn chỉ có nhiêu đó cặp số nguyên. \( \to \) Dễ dàng có đáp án.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. ĐẠO HÀM g'(x)

2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)

3. Lập BBT xét dấu g'(x)

4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

===========