(Chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình 2022) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(AB = 1\), cạnh bên \(SA = 1\) và vuông góc với mặt phẳng đáy \((ABCD)\). Kí hiệu \(M\) là điểm di động trên đoạn \(CD\) và \(N\) là điểm di động trên đoạn \(CB\) sao cho \(MAN = 45^\circ \). Thể tích nhỏ nhất của khối chóp \(S \cdot AMN\) là
A. \(\frac{{\sqrt 2 – 1}}{3}\).
B. \(\frac{{\sqrt 2 + 1}}{9}\).
C. \(\frac{{\sqrt 2 + 1}}{6}\).
D. \(\frac{{\sqrt 2 – 1}}{9}\).
Lời giải:
Đặt \(DM = x;BN = y(0 < x,y < 1)\)
Ta có \({S_{\Delta AMN}} = {S_{ABCD}} – {S_{\Delta ABN}} – {S_{\Delta ADM}} – {S_{\Delta CMN}} = 1 – \frac{1}{2}[x + y + (1 – x)(1 – y)] = \frac{1}{2}(1 – xy)\)
Xét tam giác vuông \(CMN:M{N^2} = {(1 – x)^2} + {(1 – y)^2}(1)\).
Áp dụng định lí \(\quad \cos \quad \) cho \(\quad \) tam \(\quad \) giác \(\Delta AMN\):
\(M{N^2} = A{M^2} + A{N^2} – 2 \cdot AM \cdot AN \cdot \cos 45^\circ = 1 + {x^2} + 1 + {y^2} – \sqrt 2 \cdot \sqrt {{x^2} + 1} \cdot \sqrt {{y^2} + 1} \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
\({(1 – x)^2} + {(1 – y)^2} = 1 + {x^2} + 1 + {y^2} – \sqrt 2 \cdot \sqrt {{x^2} + 1} \cdot \sqrt {{y^2} + 1} \)
\( \Leftrightarrow 2x + 2y = \sqrt {2\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right)} \)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {x^2}{y^2} + 1 – 4xy\) (3)
Ta có \({x^2} + {y^2} \ge 2xy(4)\)
Từ (3) và (4) suy ra \({x^2}{y^2} + 1 – 4xy \ge 2xy \Leftrightarrow {(xy)^2} – 6xy + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{xy \ge 3 + 2\sqrt 2 ({\rm{ loai }})}\\{xy \le 3 – 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2}(1 – xy) \ge \sqrt 2 – 1\)
\( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{\Delta AMN}} \ge \frac{{\sqrt 2 – 1}}{3}\)
Dấu “=” xảy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y}\\{xy = 3 – 2\sqrt 2 }\end{array} \Leftrightarrow x = y = \sqrt {3 – 2\sqrt 2 } } \right.\)
Vậy thể tích nhỏ nhất của khối chóp \(S \cdot AMN\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 – 1}}{3}\)
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện
Trả lời