(Chuyên Lam Sơn 2022) Trên cạnh \(AD\) của hình vuông \(ABCD\) cạnh 1, người ta lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = x(0 \le x \le 1)\) và trên nửa đường thẳng \(Ax\) vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, người ta lấy điểm \(S\) vói \(SA = y\) thỏa mãn \(y > 0\) và \({x^2} + {y^2} = 1\). Biết khi \(M\) thay đổi trên đoạn \(AD\) thì thể tích của khối chóp \(S.ABCM\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{\sqrt m }}{n}\) với \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(m,n\) nguyên tố cùng nhau. Tính \(T = m + n\).

Câu hỏi:

A. 11.

B. 17.

C. 27.

D. 35.

Lời giải:

\(\)

\({\rm{ Ta c\’o }}{V_{S.ABCM}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCM}} = \frac{1}{3} \cdot y \cdot \frac{{x + 1}}{2} = \frac{1}{6}(x + 1)\sqrt {1 – {x^2}} {\rm{. }}\)\(\)

Xét \(f(x) = {(x + 1)^2}\left( {1 – {x^2}} \right) = – {x^4} – 2{x^3} + 2x + 1\) trên \([0;1]\).

Có \(f\prime (x) = – 4{x^3} – 6{x^2} + 2;f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = – 1}\\{x = 0.5}\end{array}} \right.\).

Lập bảng xét dấu của \(f\prime (x)\) trên \([0;1]\) ta được \({\max _{[0;1]}}f(x) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{27}}{{16}}\).

Vậy thể tích lớn nhất của khối \(S \cdot ABCM\) là \({V_{\max }} = \frac{1}{6}\sqrt {\frac{{27}}{{16}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện