Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\ln \frac{{x\left( {1 + y} \right)}}{{4\left( {2 – y} \right)}} = 2\left( {8 – x – 4y – xy} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x + 3y\).

Câu hỏi: Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\ln \frac{{x\left( {1 + y} \right)}}{{4\left( {2 – y} \right)}} = 2\left( {8 – x – 4y – xy} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x + 3y\).

A. \(4\). 

B. \(5\). 

C. \(6\). 

D. \(7\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x\left( {1 + y} \right)}}{{4\left( {2 – y} \right)}} > 0\\x > 0\,;y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < y < 2\\x > 0\end{array} \right.\).

Ta có: \(\ln \frac{{x\left( {1 + y} \right)}}{{4\left( {2 – y} \right)}} = 2\left( {8 – x – 4y – xy} \right) \Leftrightarrow \ln \left( {x + xy} \right) – \ln \left( {8 – 4y} \right) = 2\left( {8 – 4y} \right) – 2\left( {x + xy} \right)\)

\( \Leftrightarrow \ln \left( {x + xy} \right) + 2\left( {x + xy} \right) = \ln \left( {8 – 4y} \right) + 2\left( {8 – 4y} \right)\) 

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \ln t + 2t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có\(f’\left( t \right) = \frac{1}{t} + 2 > 0,\forall t > 0\), suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(f\left( {x + xy} \right) = f\left( {8 – 4y} \right) \Leftrightarrow \)\(x + xy = 8 – 4y \Leftrightarrow x = \frac{{8 – 4y}}{{1 + y}}\). 

Khi đó: \(P = x + 3y = \frac{{8 – 4y}}{{1 + y}} + 3y\). Xét hàm số \(g\left( y \right) = \frac{{8 – 4y}}{{1 + y}} + 3y\) trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

Ta có: \(g’\left( y \right) = \frac{{ – 12}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + 3 = \frac{{3\left( {{y^2} + 2y – 3} \right)}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\); \(g’\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{3\left( {{y^2} + 2y – 3} \right)}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =- 3\,\,(L)\\y = 1\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\min P = 5\) khi \(x = 2,y = 1\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit