ĐỀ BÀI:
Cho tứ diện \(ABCD\) có hai mặt \(\left( {ABC} \right)\;,\;\left( {DBC} \right)\)vuông góc với nhau.Biết \(BC = a\),\(\widehat {BAC} = 60^\circ ,\)\(\widehat {BDC} = 30^\circ \). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
A. \(V = \frac{{\sqrt {39} \pi {a^3}}}{{54}}\).
B. \(V = \frac{{13\sqrt {39} \pi {a^3}}}{{54}}\).
C. \(V = \frac{{13\sqrt {39} \pi {a^3}}}{{27}}\).
D. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{{27}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(H,K\)lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC,\Delta DBC\).
\(I\)là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) nên \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IH \bot \left( {BCA} \right)\\IK \bot \left( {BCD} \right)\end{array} \right.\).
Gọi \(M\)là trung điểm của \(BC\) suy ra tứ giác \(IHMK\)là hình chữ nhật.
Gọi \({R_1}\;,\;{R_2},\;R\)lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(\Delta ABC,\Delta DBC\),và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
\(HB = {R_1} = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{a}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow HM = \sqrt {H{B^2} – B{M^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
\(KC = {R_2} = \frac{{BC}}{{2\sin D}} = \frac{a}{{2.\frac{1}{2}}} = a\)\( \Rightarrow KM = \sqrt {K{C^2} – C{M^2}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow R = IA = \sqrt {I{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} – \frac{{3{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).
\( \Rightarrow V = \frac{{4\pi }}{3}.{\left( {\frac{{a\sqrt {39} }}{6}} \right)^3} = \frac{{13\pi {a^3}\sqrt {39} }}{{54}}.\)
===========
Trả lời