ĐỀ BÀI:
Cho một miếng tôn mỏng hình chữ nhật \(ABCD\) với \(AB = 4dm,AD = 9dm.\) Trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = 3dm\), trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(F\) là trung điểm của \(BC\)( tham khảo hình 1). Cuộn miếng tôn lại một vòng sao cho cạnh\(AB\) và \(DC\) trùng khít nhau. Khi đó miếng tôn tạo thành mặt xung quanh của một hình trụ ( tham khảo hình 2). Thể tích\(V\) của tứ diện\(ABEF\) trong hình 2 bằng
A. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}\).
B. \(\frac{{27\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}\).
C. \(\frac{{9\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}\).
D. \(\frac{{81\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}\).
 |  |
LỜI GIẢI CHI TIẾT
 |  |
Gọi \(R\) là bán kính đáy của hình trụ.
Gọi \(O\) là tâm đường tròn đáy của hình trụ.
Gọi \(I\) là điểm sao cho \(ABFI\) là hình chữ nhật. \(\Delta AEI\) vuông tại \(E\).
Đường tròn đáy của hình trụ có chu vi là \(9 = 2\pi R \Rightarrow R = \frac{9}{{2\pi }}\).
Có \(AE = \frac{1}{3}AD\)\( \Rightarrow \widehat {AOE} = \frac{l}{R}\) \( = \frac{3}{{\left( {\frac{9}{{2\pi }}} \right)}} = \frac{{6\pi }}{9} = \frac{{2\pi }}{3}\) (\(l\) là độ dài cung )
Hay \(\widehat {AOE} = {120^0}\)
Suy ra tam giác \(\Delta EOI\) là tam giác đều cạnh: \(R = \frac{9}{{2\pi }}\)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(OI\). Suy ra \(EH \bot OI\) hay \(EH \bot AI\) và \(EH = \frac{{9\sqrt 3 }}{{4.\pi }}\)
Có: \(\left\{ \begin{array}{l}EH \bot AI\\EH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow EH \bot \left( {ABFI} \right)\).
Có \({S_{ABF}} = \frac{1}{2}AB.BF = \frac{1}{2}AB.2R = \frac{1}{2}.4.2.\frac{9}{{2\pi }} = \frac{{18}}{\pi }{\rm{ }}\left( {d{m^2}} \right)\).
Vậy\({V_{ABEF}} = \frac{1}{3}.EH.{S_{ABF}} = \frac{1}{3}.\frac{{9\sqrt 3 }}{{4.\pi }}.\frac{{18}}{\pi } = \frac{{27\sqrt 3 }}{{2.{\pi ^2}}}{\rm{ }}\left( {d{m^3}} \right)\)
Vậy \(V = \frac{{27\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\).
===========
Để lại phản hồi