Cho lăng trụ tứ giác \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy là hình vuông và cạnh bên bằng \(2a\). Hình chiếu của \(A’\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)là trung điểm của \(AD\), đường thẳng \(A’C\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)một góc là \({45^0}\). Thể tích khối lăng trụ\(ABCD.A’B’C’D’\) bằng

A. \(\frac{{16{a^3}}}{3}\).

B. \(\frac{{8{a^3}\sqrt {30} }}{{27}}\).

C. \(\frac{{16{a^3}}}{9}\).

D. \(\frac{{8{a^3}\sqrt {30} }}{9}\).

Lời giải:

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\)\( \Rightarrow A’E \bot \left( {ABCD} \right)\).

Đường thẳng \(A’C\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)một góc là \({45^0}\)\( \Rightarrow \widehat {A’CE} = {45^0}\).

Gọi cạnh của hình vuông \(ABCD\) là \(x\).

Xét tam giác vuông \(\Delta DEC\): \(CE = \sqrt {E{D^2} + D{C^2}} = \frac{{\sqrt 5 \,x}}{2}\).

Tam giác\(\Delta A’EC\)vuông cân tại \(E\)\( \Rightarrow EC = A’E = \frac{{\sqrt 5 x}}{2}\).

Xét tam giác vuông \(\Delta A’EA\), ta có:

\(A'{A^2} = A{E^2} + A'{E^2} \Leftrightarrow 4{a^2} = \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{5}{4}{x^2} = \frac{{6{x^2}}}{4} \Rightarrow x = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}a\)

\( \Rightarrow A’E = \frac{{2\sqrt {30} }}{6}a = \frac{{\sqrt {30} }}{3}a\) và \({S_{ABCD}} = {x^2} = \frac{8}{3}{a^2}\).

Vậy thể tích khối lăng trụ \(ABCD.A’B’C’D’\) là: \(V = A’E.{S_{ABCD}} = \frac{{8{a^3}\sqrt {30} }}{9}\).