Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\). Tam giác \(ABC’\) có diện tích bằng \(12\sqrt 3 {a^2}\) và mặt phẳng \(\left( {ABC’} \right)\) tạo với đáy một góc \({60^{\rm{o}}}\). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(216{a^3}\).

B. \(24{a^3}\).

C. \(72{a^3}\).

D. \(18{a^3}\).

Lời giải:

Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CM\\AB \bot CC’\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {C’CM} \right) \Rightarrow AB \bot C’M \Rightarrow \widehat {C’MC} = {60^{\rm{o}}}\) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC’} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Do tam giác \(ABC\) là hình chiếu của tam giác \(ABC’\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên:

\({S_{ABC}} = {S_{ABC’}}.\cos {60^{\rm{o}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = 12\sqrt 3 {a^2} \Rightarrow AB = 4\sqrt 3 a\).

Lại có: \(CM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.4\sqrt 3 a = 6a\).

Xét tam giác \(C’CM\) vuông tại \(C\), có: \(CC’ = CM\tan {60^{\rm{o}}} = 6\sqrt 3 a\).

Thể tích khối lăng trụ đã cho là: \(V = CC’.{S_{ABC}} = 6\sqrt 3 a.\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {4\sqrt 3 a} \right)^2} = 216{a^3}\).