Cho lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác vuông và \(AB = BC = 2a\sqrt 6 \), \(M\) là trung điểm của \(BC\), góc giữa đường thẳng \(AM\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là \(30^\circ \),Tính khoảng cách \(d\) của hai đường thẳng \(AM\) và \(B’C\).

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác vuông và \(AB = BC = 2a\sqrt 6 \), \(M\) là trung điểm của \(BC\), góc giữa đường thẳng \(AM\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là \(30^\circ \),Tính khoảng cách \(d\) của hai đường thẳng \(AM\) và \(B’C\).

A. \(d = \frac{{a\sqrt {318} }}{{53}}\).

B. \(d = \frac{{3a\sqrt {318} }}{{53}}\).

C. \(d = \frac{{2a\sqrt {318} }}{{53}}\).

D. \(d = \frac{{3a\sqrt {318} }}{{53}}\).

Lời giải:

Do: \(A’A \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AM\)là hình chiếu của \(A’M\)lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Suy ra góc giữa đường thẳng \(A’M\)và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)là góc giữa hai đường thẳng \(AM\)và \(A’M \Rightarrow \widehat {\left( {A’M;AM} \right)} = \widehat {A’MA} = 30^\circ .\)

Ta có\(\tan \left( {\widehat {A’MA}} \right) = \tan 30^\circ = \frac{{AA’}}{{AM}} \Rightarrow AA’ = AM\tan 30^\circ \Rightarrow AA’ = \frac{{BC}}{2}\tan 30^\circ \Rightarrow AA’ = \frac{{2a\sqrt 6 }}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = a\sqrt 2 .\)Mặc khác, ta có: \(\Delta ABC\) vuông và có \(AB = BC\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\).

Gọi: \(N\) là trung điểm của \(BB’\), ta có: \(B’C{\rm{//}}\left( {AMN} \right)\).

Khi đó: \(d\left( {AM,B’C} \right) = d\left( {B’C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right)\).

Kẻ \(BH \bot AM\) tại \(H\) và kẻ \(BK \bot NH\) tại \(K\).

Ta có: \(BH \bot AM,BN \bot AM \Rightarrow AM \bot \left( {NBH} \right) \Rightarrow BK \bot AM\).

mà \(BK \bot NH\), \(BK \bot AM\) nên \(BK \bot \left( {AMN} \right)\).

Suy ra: \(d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = BK\).

Ta có: \(BH.AM = BA.BM \Rightarrow \)\(BH = \frac{{BM.BA}}{{\sqrt {B{M^2} + B{A^2}} }} \Rightarrow BH = \frac{{a\sqrt 6 .2a\sqrt 6 }}{{\sqrt {{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {2a\sqrt 6 } \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {30} a}}{5}\); \(BK.NH = BN.BH \Rightarrow \)\(BK = \frac{{BH.BN}}{{\sqrt {B{H^2} + B{N^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {318} }}{{53}} \cdot \).

Vậy: \(d\left( {AM,B’C} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = BK = \frac{{2a\sqrt {318} }}{{53}} \cdot \).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.