Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có \(AB = a\). Góc giữa đường thẳng\(A’B\) và mặt phẳng \(\left( {BCC’B’} \right)\) bằng \({30^0}\). Tìm thể tích khối lăng trụ đã cho.

A. \(\frac{{a{}^3\sqrt 6 }}{9}\).

B. \(\frac{{a{}^3\sqrt 6 }}{4}\) .

C. \(\frac{{a{}^3\sqrt 6 }}{{12}}\).

D. \(\frac{{a{}^3\sqrt 6 }}{2}\).

Lời giải:

Đặt : \(AA’ = x\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(B’C’\)\( \Rightarrow A’H \bot B’C’\). Lại có \(A’H \bot BB’\) nên \(A’H \bot \left( {BCC’B’} \right)\).

Suy ra \(HB\) là hình chiếu của \(A’B\) trên mặt phẳng \(\left( {BCC’B’} \right)\), suy ra góc giữa đường thẳng \(A’B\) và mặt phẳng \(\left( {BCC’B’} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(A’B\) và \(HB\) và bằng góc \(\widehat {A’BH}\).

Xét tam giác \(A’HB\) vuông tại \(H\)ta có \(A’B = \sqrt {A'{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \) và \(A’H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), do đó

\(\sin \widehat {A’BH} = \frac{{A’H}}{{A’B}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {a^2} + {x^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 \) .

Thể tích của khối lăng trụ là: \(V = {S_{ABC}}.AA’ = \frac{{a{}^2\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 2 = \frac{{a{}^3\sqrt 6 }}{4}\).