Cho khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\), \(A\) là điểm chính giữa của cung \(BC\), \(A’A = A’B = A’C = 2a\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BB’C’C} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(30^\circ \). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(3{a^3}\).

B. \({a^3}\).

C. \(3\sqrt 3 {a^3}\).

D. \(\sqrt 3 {a^3}\).

Lời giải:

Tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) nên đây là tam giác vuông tại \(A\) .

Lại có \(A\) là điểm chính giữa của cung \(BC\) nên số đo cung \(AB\) và \(AC\) bằng nhau, do đó hai dây \(AB\)= \(AC\). Vì vậy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).

Gọi \(H\), \(M\) lần lượt là trung điểm cạnh huyền \(BC\), \(B’C’\), khi đó \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Theo giả thiết \(A’A = A’B = A’C = 2a\) nên \(A’H \bot \left( {ABC} \right),\,A’H \bot \left( {A’B’C’} \right)\) suy ra \(A’H \bot B’C’\) (1)

Ta có \(A’M\) là đường trung tuyến của tam giác cân nên \(A’M\) là đường cao do đó \(A’M \bot B’C’\)(2).

Lại có góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BCB’C’} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(30^\circ \). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra số đo của góc \(A’MH\) là \(30^\circ \).

Gọi \(x\) là độ dài của \(A’M\), do đó \(B’C’ = 2A’M = 2x\).

Xét tam giác vuông \(A’MH\) ( \(A’H \bot A’M\) ); \(MH = A’A = 2a\), \(A’H = HM.\sin 30^\circ = 2a.\frac{1}{2} = a\), \(A’M = x = HM.\cos 30^\circ = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \). Do đó \(B’C’ = 2\sqrt 3 a\).

Diện tích tam giác \(A’B’C’\) là \(\frac{1}{2}.A’M.B’C’ = \frac{1}{2}.a\sqrt 3 .2\sqrt 3 a = 3{a^2}\).

Thể tích khối lăng trụ là \(V = A’H.{S_{\Delta A’B’C’}} = a.3{a^2} = 3{a^3}\)( đvtt).