Cho khối hộp \(ABCD.MNPQ\)có tất cả các cạnh bằng a, các góc \(\widehat {BAD} = \widehat {BNP} = \widehat {PQD} = {60^0}\). Thể tích của khối hộp là

Cho khối hộp \(ABCD.MNPQ\)có tất cả các cạnh bằng a, các góc \(\widehat {BAD} = \widehat {BNP} = \widehat {PQD} = {60^0}\). Thể tích của khối hộp là

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).

B. \({a^3}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).

Lời giải:

Nhận xét các tam giác \(\Delta BAD,\,\,\Delta BNP,\,\,\Delta DQP\,\) là các tam giác đều cạnh a.

Do đó tứ diện \(PBCD\)là tứ diện đều cạnh a.

Gọi \(O = AC \cap BD\), H là trọng tâm \(\Delta BCD\)khi đó:

\(OC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\,HC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\), diện tích tam giác BCD là\({S_{\Delta BCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\(HP = \sqrt {P{C^2} – H{C^2}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Thể tích khối hộp là \(V = 6{V_{PBCD}} = 6.\frac{1}{3}.PH.{S_{\Delta BCD}} = 2.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)

===========

Câu 43 THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ BIẾT GÓC KHOẢNG CÁCH VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024