Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A’B’C’\) có cạnh đáy \(2a.\) Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A’C\) bằng \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\). Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) tính theo \(a\) bằng

A. \(\frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{8}\).

B. \(\frac{{3{a^3}}}{2}\).

C. \(\frac{{3{a^3}}}{8}\).

D. \(\frac{{3{a^3}}}{4}\).

Lời giải:

Ta có \(AB\parallel A’B’ \Rightarrow AB\parallel \left( {A’B’C} \right) \Rightarrow d\left( {AB,A’C} \right) = d\left( {AB,\left( {A’B’C} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {A’B’C} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

Đặt \(AA’ = x > 0\).

Tam giác \(CA’B’\)cân tại \(C\),\(CA’ = CB’ = \sqrt {4{a^2} + {x^2}} \).

Diện tích tam giác \(CA’B’\) là

\({S_{CA’B’}} = \frac{1}{2}CH.A’B’ = \frac{1}{2}.2a.\sqrt {3{a^2} + {x^2}} = a.\sqrt {3{a^2} + {x^2}} \)

Thể tích lăng trụ \(V = x.{a^2}\sqrt 3 \,\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(V = 3{V_{B.A’B’C}} = 3.\frac{1}{3}d\left( {B,\left( {A’B’C} \right)} \right).{S_{A’B’C}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.a.\sqrt {3{a^2} + {x^2}} \).

Do đó \(x.{a^2}\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.a.\sqrt {3{a^2} + {x^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) bằng: \(V = \frac{{3{a^3}}}{2}\).