Cho hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có thể tích là \(V\). Điểm \(M\) nằm trên cạnh \(AA’\) sao cho \(AM = 2MA’\). Gọi \(V’\) là thể tích của khối chóp \(M.BCC’B’\). Tính tỉ số \(\frac{{V’}}{V}\).

Cho hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có thể tích là \(V\). Điểm \(M\) nằm trên cạnh \(AA’\) sao cho \(AM = 2MA’\). Gọi \(V’\) là thể tích của khối chóp \(M.BCC’B’\). Tính tỉ số \(\frac{{V’}}{V}\).

A. \(\frac{{V’}}{V} = \frac{1}{3}\).

B. \(\frac{{V’}}{V} = \frac{1}{2}\).

C. \(\frac{{V’}}{V} = \frac{3}{4}\).

D. \(\frac{{V’}}{V} = \frac{2}{3}\).

Lời giải:

Cách 1.

Ta có thể tích khối lăng trụ \(V = d\left( {A’;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}\).

Điểm \(M\) nằm trên cạnh \(AA’\) thỏa mãn \(AM = 2MA’\) nên \(d\left( {M\,;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {A’\,;\,\left( {ABC} \right)} \right)\) và \(d\left( {M\,;\left( {A’B’C’} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A\,;\left( {A’B’C’} \right)} \right)\)\( = \frac{1}{3}d\left( {A’\,;\left( {ABC} \right)} \right)\).

Thể tích khối chóp \(M.ABC\) là \({V_1} = \frac{1}{3}.d\left( {M\,;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}\)\( = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}.d\left( {A’\,;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}\)\( = \frac{2}{9}V\).

Thể tích khối chóp \(M.A’B’C’\) là \({V_2} = \frac{1}{3}.d\left( {M;\left( {A’B’C’} \right)} \right).{S_{A’B’C’}}\)\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}.d\left( {A’\,;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}\)\( = \frac{1}{9}V\).

Thể tích khối chóp \(M.BCC’B’\) là \(V’ = V – {V_1} – {V_2}\)\( = V – \frac{2}{9}V – \frac{1}{9}V\)\( = \frac{2}{3}V\).

Vậy \(\frac{{V’}}{V} = \frac{2}{3}\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.