Cho hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có \(AA’ = AB’ = AC’\). Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(BC = 2a\). Khoảng cách từ \(A’\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC’B’} \right)\) là \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).

D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải:

Gọi \(H\) là trung điểm \(B’C’\). Vì tam giác \(A’B’C’\)là tam giác vuông cân tại \(A’\) nên \(H\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A’B’C’\).

Mặt khác \(AA’ = AB’ = AC’\), từ đó suy ra \(A,\,\,H\)cách đều 3 điểm \(A’,\,\,B’,\,\,C’\) hay \(AH \bot \left( {A’B’C’} \right)\).

Gọi \(I\)là trung điểm của \(BC\) khi đó \(AI \bot BC\,\,\left( 1 \right)\).

Mà \(B’C’ \bot AH\) và \(BC\)//\(B’C’\) suy ra \(BC \bot AH\,\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra \(BC \bot \left( {AHI} \right) \Rightarrow \left( {BCC’B’} \right) \bot \left( {AHI} \right)\) theo giao tuyến là HI .

Kẻ \(AK \bot HI\), ta được \(AK \bot \left( {BCC’B’} \right)\) hay \(d\left( {A’,\,\left( {BCC’B’} \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( {BCC’B’} \right)} \right) = AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)Xét tam giác \(AIH\) vuông tại A, ta được \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} – \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} – \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) .

Vậy thể tích khối lăng trụ \(V = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{1}{2}.{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).