Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\)có cạnh đáy bằng \(2\), đường cao\(SO = 2\). Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh của \(AB,AD\)sao cho hai mặt phẳng \(\left( {SCM} \right);\,\left( {SCN} \right)\) luôn vuông góc với nhau. Thể tích lớn nhất của hình chóp \(S.AMCN\)là
A. \(4.\left( {8\sqrt 6 – 16} \right)\).
B. \(\frac{4}{3}\).
C. \(\frac{{44}}{9}\).
D. \(\frac{4}{3}\left( {8\sqrt 6 – 16} \right)\).
Lời giải
Chọn hệ toạ độ\(Oxyz\) sao cho: \(A\left( { – 1; – 1;0} \right),{\rm{ }}B\left( { – 1;1;0} \right),C\left( {1;1;0} \right),\,D\left( {1; – 1;0} \right),S\left( {0;0;2} \right).\)
Gọi toạ độ điểm \(M\left( { – 1;y;0} \right) \in AB\left( { – 1 \le y \le 1} \right),N\left( {x; – 1;0} \right) \in AD\left( { – 1 \le x \le 1} \right)\).
Ta có:
\(\overrightarrow {CM} \left( { – 2;y – 1;0} \right),\overrightarrow {CN} \left( {x – 1; – 2;0} \right),\,\overrightarrow {CS} \left( { – 1; – 1;2} \right),\overrightarrow {CA} \left( { – 2; – 2;0} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CS} } \right] = \left( {2y – 2;4;y + 1} \right) = \overrightarrow u \) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SCM} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {CN} ,\overrightarrow {CS} } \right] = \left( { – 4; – 2x + 2; – x – 1} \right) = \overrightarrow v \) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SCN} \right)\)
Vì hai mặt phẳng \(\left( {SCM} \right);\,\left( {SCN} \right)\) luôn vuông góc với nhau nên \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0\, \Leftrightarrow 9x + 9y + xy – 15 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{15 – 9x}}{{x + 9}}\). Kết hợp điều kiện \(x,y \in \left[ { – 1;1} \right] \Rightarrow x \in \left[ {\frac{3}{5};1} \right]\)
\(\begin{array}{l}{V_{S.AMCN}} = {V_{S.AMC}} + {V_{S.ACN}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {CA} .\,\left[ {\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {CM} } \right]} \right| + \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {CA} .\,\left[ {\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {CN} } \right]} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\left| { – 4y – 4} \right| + \frac{1}{3}\left| {4x + 4} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{4}{3}\left[ {\left| {y + 1} \right| + \left| {x + 1} \right|} \right] = \frac{4}{3}\left( {x + y + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{4}{3}\left( {x + \frac{{15 – 9x}}{{x + 9}} + 2} \right) = \frac{4}{3}\left( {x – 7 + \frac{{96}}{{x + 9}}} \right)\end{array}\)
Ta lại có:
\(x – 7 + \frac{{96}}{{x + 9}} = x + 9 + \frac{{96}}{{x + 9}} – 16 \ge 8\sqrt 6 – 16\). Dấu bằng xảy ra khi \(x + 9 = \frac{{96}}{{x + 9}} \Leftrightarrow {\left( {x + 9} \right)^2} = 96 \Leftrightarrow x = 4\sqrt 6 – 9\).
Thể tích lớn nhất của hình chóp \(S.AMCN\)là \(\frac{4}{3}\left( {8\sqrt 6 – 16} \right)\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ
Trả lời