• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\)có cạnh đáy bằng \(2\), đường cao\(SO = 2\). Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh của \(AB,AD\)sao cho hai mặt phẳng \(\left( {SCM} \right);\,\left( {SCN} \right)\) luôn vuông góc với nhau. Thể tích lớn nhất của hình chóp \(S.AMCN\)là

Đăng ngày: 19/03/2022 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Hình học OXYZ Tag với:Cuc tri Hinh hoc Oxyz

adsense
Câu hỏi: <p>Cho hình chóp tứ giác đều (S.ABCD)có cạnh đáy bằng (2), đường cao(SO = 2). Gọi (M,N) lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh của (AB,AD)sao cho hai mặt phẳng (left( {SCM} right);,left( {SCN} right)) luôn vuông góc với nhau. Thể tích lớn nhất của hình chóp (S.AMCN)là</p> 1

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\)có cạnh đáy bằng \(2\), đường cao\(SO = 2\). Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh của \(AB,AD\)sao cho hai mặt phẳng \(\left( {SCM} \right);\,\left( {SCN} \right)\) luôn vuông góc với nhau. Thể tích lớn nhất của hình chóp \(S.AMCN\)là

A. \(4.\left( {8\sqrt 6 – 16} \right)\).

B. \(\frac{4}{3}\).

C. \(\frac{{44}}{9}\).

D. \(\frac{4}{3}\left( {8\sqrt 6 – 16} \right)\).

Lời giải

<p>Cho hình chóp tứ giác đều (S.ABCD)có cạnh đáy bằng (2), đường cao(SO = 2). Gọi (M,N) lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh của (AB,AD)sao cho hai mặt phẳng (left( {SCM} right);,left( {SCN} right)) luôn vuông góc với nhau. Thể tích lớn nhất của hình chóp (S.AMCN)là</p> 2

Chọn hệ toạ độ\(Oxyz\) sao cho: \(A\left( { – 1; – 1;0} \right),{\rm{ }}B\left( { – 1;1;0} \right),C\left( {1;1;0} \right),\,D\left( {1; – 1;0} \right),S\left( {0;0;2} \right).\)

Gọi toạ độ điểm \(M\left( { – 1;y;0} \right) \in AB\left( { – 1 \le y \le 1} \right),N\left( {x; – 1;0} \right) \in AD\left( { – 1 \le x \le 1} \right)\).

Ta có:

adsense

\(\overrightarrow {CM} \left( { – 2;y – 1;0} \right),\overrightarrow {CN} \left( {x – 1; – 2;0} \right),\,\overrightarrow {CS} \left( { – 1; – 1;2} \right),\overrightarrow {CA} \left( { – 2; – 2;0} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CS} } \right] = \left( {2y – 2;4;y + 1} \right) = \overrightarrow u \) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SCM} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {CN} ,\overrightarrow {CS} } \right] = \left( { – 4; – 2x + 2; – x – 1} \right) = \overrightarrow v \) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SCN} \right)\)

Vì hai mặt phẳng \(\left( {SCM} \right);\,\left( {SCN} \right)\) luôn vuông góc với nhau nên \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0\, \Leftrightarrow 9x + 9y + xy – 15 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{15 – 9x}}{{x + 9}}\). Kết hợp điều kiện \(x,y \in \left[ { – 1;1} \right] \Rightarrow x \in \left[ {\frac{3}{5};1} \right]\)

\(\begin{array}{l}{V_{S.AMCN}} = {V_{S.AMC}} + {V_{S.ACN}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {CA} .\,\left[ {\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {CM} } \right]} \right| + \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {CA} .\,\left[ {\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {CN} } \right]} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\left| { – 4y – 4} \right| + \frac{1}{3}\left| {4x + 4} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{4}{3}\left[ {\left| {y + 1} \right| + \left| {x + 1} \right|} \right] = \frac{4}{3}\left( {x + y + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{4}{3}\left( {x + \frac{{15 – 9x}}{{x + 9}} + 2} \right) = \frac{4}{3}\left( {x – 7 + \frac{{96}}{{x + 9}}} \right)\end{array}\)

Ta lại có:

\(x – 7 + \frac{{96}}{{x + 9}} = x + 9 + \frac{{96}}{{x + 9}} – 16 \ge 8\sqrt 6 – 16\). Dấu bằng xảy ra khi \(x + 9 = \frac{{96}}{{x + 9}} \Leftrightarrow {\left( {x + 9} \right)^2} = 96 \Leftrightarrow x = 4\sqrt 6 – 9\).

Thể tích lớn nhất của hình chóp \(S.AMCN\)là \(\frac{4}{3}\left( {8\sqrt 6 – 16} \right)\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ

Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Hình học OXYZ Tag với:Cuc tri Hinh hoc Oxyz

Bài liên quan:

  1. Chuyên đề Cực trị Toạ độ OXYZ – FILE WORD
  2. Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích không gian
  3. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình vuông \(ABCD\) trong đó \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {3;0;8} \right),\,\,C\left( { – 3; – 6;8} \right).\) Hai điểm \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt nằm trên cạnh \(AB,{\rm{ }}BC\) thỏa mãn \(AM = BN = \frac{1}{3}BC\). Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là giao điểm của \(AN,{\rm{ }}DM\). Tính \(P = a + b + c\).

  4. Câu 42: Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;1; – 2} \right);{\rm{ }}B\left( {2;0; – 1} \right);{\rm{ }}C\left( { – 3;2;0} \right)\) và \(D\left( {m;0;3} \right)\). Tổng các giá trị của \(m\) để tứ diện \(ABCD\) có thể tích bằng \(5\) là

  5. Cho hình lăng trụ tam giác đều\(ABC.A’B’C’\) có cạnh đáy bằng \(1\), cạnh bên bằng \(3\). Gọi \(I\) là điểm trên cạnh \(BB’\) sao cho \(BI = \frac{1}{3}BB’\), điểm \(M\)di động trên cạnh AA’. Biết diện tích của tam giác \(MIC’\) nhỏ nhất khi tỷ số \(\frac{{AM}}{{AA’}} = \frac{a}{b}\,\left( {a \in \mathbb{N};b \in \mathbb{N}*,\,\left( {a,b} \right) = 1} \right)\). \(P = a + b\)là

  6. Trong không gian \(Oxyz\) cho điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\). Đường thẳng đi qua \(A\), cắt trục \(Oy\) và vuông góc với \(d\) có phương trình là

  7. Trong không gian \(Oxyz\)cho mặt cầu \((S):{(x – 2)^2} + {(y – 3)^2} + {(z + 1)^2} = 1\). Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc \((S)\) sao cho tiếp diện của \((S)\) tại \(M\) cắt các trục \(Ox,\,Oy\) lần lượt tại các điềm \(A(a;\,\,0;\,\,0),B(0;\,\,b;\,\,0)\) mà \(a,b\) là các số nguyên dương và \(\widehat {AMB} = {90^ \circ }\).
  8. Trong không gian , cho hai điểm \(A\left( {3; – 2;2} \right)\), \(B\left( { – 2;2;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y + 2z – 3 = 0\). Xét các điểm \(M\), \(N\) di động trên \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3N{B^2}\) bằng

  9. Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{4}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x – 2y – 2z – 10 = 0\). Biết đường thẳng \(\Delta \) là hình chiếu vuông góc của \(d\) trên \(\left( P \right)\), đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào sau đây?

  10. Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a \left( {1; – 1;0} \right)\) và hai điểm \(A\left( { – 4;\,7;\,3} \right),\,B\left( {4;\,4;\,5} \right)\).Giả sử \(M,\,N\) là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\overrightarrow a \) và \(MN = 5\sqrt 2 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {AM – BN} \right|\) bằng?

  11. Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y – z – 3 = 0\). Gọi \(d’\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cách \(d’\) một khoảng bằng \(\sqrt {11} \) là đường thẳng có phương trình

  12. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\) và \(B\left( { – 4; – 6;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – 1 = 0\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi lần lượt thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) là

  13. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z – 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng \(d\).

  14. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { – 1\,;\,0\,;\,0} \right)\) và \(B\left( {2\,;\,3\,;\,4} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 4\) và \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y – 2 = 0\). Xét \(M\), \(N\) là hai điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng.

  15. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 9\) và hai điểm \(M\left( {4; – 4;2} \right)\), \(N\left( {6;0;6} \right)\). Gọi \(E\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(EM + EN\) đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(E\).

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.