Cho hàm số \(y = m{x^4} – 2\left( {{m^2} – 1} \right){x^2} + m + 1\). Tìm \(m\) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = m{x^4} – 2\left( {{m^2} – 1} \right){x^2} + m + 1\). Tìm \(m\) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Cách 1.

 Nếu \(m > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left( {m – \frac{{2\left( {{m^2} – 1} \right)}}{{{x^2}}} + \frac{{m + 1}}{{{x^4}}}} \right) = + \infty \) nên không thể nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

 Nếu \(m = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2{x^2} + 1} \right) = + \infty \) nên không thể nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

 Nếu \(m < 0\) thì yêu cầu bài toán tương đương với

\(\begin{array}{l}y’ \le 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow m{x^3} \le \left( {{m^2} – 1} \right)x,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{{m^2} – 1}}{m} \le {x^2},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(y = {x^2}\) trên \(\left( {2; + \infty } \right)\), ta có \(y’ = 2x\), \(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0 \notin \left( {2; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên hàm số \(y = {x^2}\) trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{{m^2} – 1}}{m} \le 4 \Leftrightarrow {m^2} – 4m – 1 \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 2 – \sqrt 5 \\m \ge 2 + \sqrt 5 \end{array} \right.\end{array}\)

So với điều kiện đang xét, ta có \(m \le 2 – \sqrt 5 \).

Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \(m \le 2 – \sqrt 5 \).

Cách 2.

 Nhận xét:

o \(m = 0\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

o \(m > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left( {m – \frac{{2\left( {{m^2} – 1} \right)}}{{{x^2}}} + \frac{{m + 1}}{{{x^4}}}} \right) = + \infty \) nên không thể nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

 Đặt \(t = {x^2}\),.

 Hàm số \(y = m{x^4} – 2\left( {{m^2} – 1} \right){x^2} + m + 1\) nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi chỉ khi hàm số \(y = g\left( t \right) = m{t^2} – 2\left( {{m^2} – 1} \right)t + m + 1\) nghịch biến trên \(\left( {4; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên của hàm số \(y = g\left( t \right)\) trên \(\mathbb{R}\) với \(m < 0\):

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\frac{{{m^2} – 1}}{m} \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} – 4m – 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2 – \sqrt 5 \).

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC